Derivadas: De Cero a Experto

Cálculo Diferencial: Reglas de Derivación

Derivadas: Guía Completa

⚠️ Contenido Exclusivo para 5to Año ⚠️

1. Teoría Fundamental

La derivada permite medir cómo cambia una función ante variaciones pequeñas en sus variables.

Reglas de Derivación por Tipo

  • Polinómica: $f(x) = x^n \implies f'(x) = n x^{n-1}$
  • Radical: $f(x) = \sqrt{x} \implies f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
  • Trigonométrica: $(\sin x)' = \cos x$; $(\cos x)' = -\sin x$; $(\tan x)' = \sec^2 x$
  • Exponencial: $(e^x)' = e^x$; $(a^x)' = a^x \ln(a)$
  • Logaritmo: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$; $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

Operaciones y Regla de la Cadena

  • Producto: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$
  • Cociente: $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
  • Regla de la Cadena: Si $y = f(g(x))$, entonces $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

2. Videoteca Recomendada

Selecciona un recurso para profundizar en YouTube:

Concepto de Derivada Regla de la Cadena Derivada de un Producto Derivada de un Cociente Derivadas Trigonométricas

3. Libros Recomendados

Selecciona un libro para profundizar:

Matemática I-Calculo Diferencial Calculo Una Variable

4. 24 Ejercicios Resueltos Paso a Paso

Nivel Básico

Básico 1. $f(x) = x^8$
Bajamos el exponente y restamos 1: $f'(x) = 8x^7$
Básico 2. $f(x) = 4x^3 - 5x + 2$
Derivamos término a término: $f'(x) = 12x^2 - 5$
Básico 3. $f(x) = \frac{1}{x^5}$
Como $x^{-5}$: $f'(x) = -5x^{-6} = -5/x^6$
Básico 4. $f(x) = \sqrt[5]{x}$
Como $x^{1/5}$: $f'(x) = \frac{1}{5}x^{-4/5}$
Básico 5. $f(x) = 10\sin(x)$
$f'(x) = 10\cos(x)$
Básico 6. $f(x) = \cos(x) - \tan(x)$
$f'(x) = -\sin(x) - \sec^2(x)$
Básico 7. $f(x) = 3e^x$
$f'(x) = 3e^x$
Básico 8. $f(x) = \ln(x) + 4$
$f'(x) = 1/x$

Nivel Intermedio

Intermedio 9. $f(x) = x^4 \cos(x)$
Producto: $(4x^3)(\cos x) + (x^4)(-\sin x) = 4x^3\cos x - x^4\sin x$
Intermedio 10. $f(x) = e^x \tan(x)$
Producto: $e^x\tan x + e^x\sec^2 x$
Intermedio 11. $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$
Cociente: $\frac{(2x)(x-1) - (x^2)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$
Intermedio 12. $f(x) = \frac{\ln x}{x}$
Cociente: $\frac{(1/x)(x) - (\ln x)(1)}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2}$
Intermedio 13. $f(x) = (2x+3)^5$
Cadena: $5(2x+3)^4 \cdot 2 = 10(2x+3)^4$
Intermedio 14. $f(x) = \sin(3x^2)$
Cadena: $\cos(3x^2) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2)$
Intermedio 15. $f(x) = e^{4x}$
Cadena: $4e^{4x}$
Intermedio 16. $f(x) = \ln(x^2+1)$
Cadena: $\frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$

Nivel Avanzado

Avanzado 17. $f(x) = \sin^3(5x)$
Doble cadena: $3\sin^2(5x) \cdot \cos(5x) \cdot 5 = 15\sin^2(5x)\cos(5x)$
Avanzado 18. $f(x) = \sqrt{x^2 \ln x}$
Cadena + Producto: $\frac{1}{2\sqrt{x^2\ln x}} \cdot (2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x})$
Avanzado 19. $f(x) = e^{\cos(2x)}$
Cadena: $e^{\cos(2x)} \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = -2\sin(2x)e^{\cos(2x)}$
Avanzado 20. $f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
Propiedades $\ln(x+1)-\ln(x-1) \implies \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}$
Avanzado 21. $f(x) = \tan(e^{x^2})$
$\sec^2(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x$
Avanzado 22. $f(x) = \frac{e^x}{\sin x}$
$\frac{e^x\sin x - e^x\cos x}{\sin^2 x} = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$
Avanzado 23. $f(x) = (x^2+1) \cdot e^{3x}$
$(2x)e^{3x} + (x^2+1)(3e^{3x}) = e^{3x}(3x^2+2x+3)$
Avanzado 24. $f(x) = \cos(\ln(x^2))$
$-\sin(\ln x^2) \cdot \frac{2x}{x^2} = -\frac{2\sin(\ln x^2)}{x}$

5. 24 Ejercicios Propuestos

Nivel Básico:

  1. $y = x^9$
  2. $y = 6x^2 - 3x$
  3. $y = 1/x^4$
  4. $y = \sqrt{x}$
  5. $y = 4\sin x$
  6. $y = 2\cos x$
  7. $y = e^x + x^2$
  8. $y = 3\ln x$

Nivel Intermedio:

  1. $y = x^2 \sin x$
  2. $y = e^x \cos x$
  3. $y = \frac{2x}{x+3}$
  4. $y = \frac{\ln x}{x^2}$
  5. $y = (4x-1)^3$
  6. $y = \sin(5x)$
  7. $y = e^{x^3}$
  8. $y = \ln(2x)$

Nivel Avanzado:

  1. $y = \sin^2(x^2)$
  2. $y = x \sqrt{x^2+1}$
  3. $y = e^{-x} \tan x$
  4. $y = \ln(\sqrt{x})$
  5. $y = \tan(\sin x)$
  6. $y = \frac{e^{2x}}{x}$
  7. $y = (x^2+x)^4$
  8. $y = \cos(e^x)$

🧪 Calculadora de Derivadas IA

Introduce la función (ej: x^3 * cos(x)):


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