Geometría Analítica: La Circunferencia

La Circunferencia en Geometría Analítica

✨ La Circunferencia en Geometría Analítica: Ecuación, Propiedades y Ejercicios

La circunferencia es uno de los lugares geométricos más importantes. En esta entrada aprenderás:

  • Su definición y ecuaciones.
  • Cómo identificar centro y radio.
  • Posición de puntos y rectas.
  • Ejercicios resueltos paso a paso y propuestos para que practiques.

¿Empezamos?

🔵 1. Definición y elementos

Una circunferencia es el conjunto de puntos \( P(x, y) \) que están a una distancia fija \( r \) (radio) de un punto fijo \( C(h, k) \) (centro).

  • Centro: \( C(h, k) \)
  • Radio: \( r > 0 \)

📐 2. Ecuaciones de la circunferencia

📌 Forma ordinaria o canónica

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

Si el centro está en el origen \((0,0)\) se simplifica a: \( x^2 + y^2 = r^2 \).

📌 Forma general

Desarrollando la forma ordinaria obtenemos:

\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]

donde \( D = -2h,\; E = -2k,\; F = h^2 + k^2 - r^2 \).

Para recuperar centro y radio:

\[ h = -\frac{D}{2},\qquad k = -\frac{E}{2},\qquad r = \sqrt{\frac{D^2+E^2}{4} - F} \]

o equivalentemente:

\[ r = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2} \]

Condición de existencia: \( D^2 + E^2 - 4F > 0 \) (si es cero es un punto; si es negativo no hay lugar real).

📍 3. Posición de un punto respecto a la circunferencia

Dado un punto \( P(x_0, y_0) \), sustituimos en la ecuación ordinaria:

  • Si \( (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 < r^2 \) → \(P\) es interior.
  • Si \( (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 = r^2 \) → \(P\) pertenece a la circunferencia.
  • Si \( (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 > r^2 \) → \(P\) es exterior.

⚡ 4. Intersección con una recta

Para hallar los puntos de corte entre una recta \( y = mx + b \) (o en forma general) y la circunferencia, resolvemos el sistema. El discriminante \(\Delta\) de la ecuación cuadrática resultante nos dice:

  • \(\Delta > 0\) → secante (dos puntos de corte).
  • \(\Delta = 0\) → tangente (un punto de contacto).
  • \(\Delta < 0\) → exterior (no se cortan).

🧠 EJERCICIOS RESUELTOS (paso a paso)

📘 Ejercicio 1: Obtener la ecuación a partir del centro y el radio

Enunciado: Halla la ecuación ordinaria y general de la circunferencia con centro \( C(3, -2) \) y radio \( 4 \).

Solución:

Paso 1: Usamos la forma ordinaria:
\((x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 4^2\)
\((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\)
(Esa es la ecuación ordinaria)

Paso 2: Desarrollamos para obtener la forma general:
\((x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 16\)
\(x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 16\)
\(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0\)

✔ Ordinaria: \((x-3)^2+(y+2)^2=16\)   |   General: \(x^2+y^2-6x+4y-3=0\)

📘 Ejercicio 2: De la forma general a centro y radio

Enunciado: Dada la circunferencia \( x^2 + y^2 + 8x - 6y - 11 = 0 \), halla su centro y radio.

Solución:

Paso 1: Identificamos \(D=8\), \(E=-6\), \(F=-11\).

Paso 2: Calculamos el centro:
\(h = -\frac{D}{2} = -\frac{8}{2} = -4,\quad k = -\frac{E}{2} = -\frac{-6}{2} = 3\)
Centro \( C(-4, 3) \).

Paso 3: Calculamos el radio:
\(r = \frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2} = \frac{\sqrt{8^2 + (-6)^2 - 4(-11)}}{2} = \frac{\sqrt{64 + 36 + 44}}{2} = \frac{\sqrt{144}}{2} = \frac{12}{2} = 6\)

✔ Centro \((-4, 3)\), radio \(6\).

📘 Ejercicio 3: Posición de un punto

Enunciado: Determina si el punto \( P(1, 2) \) es interior, exterior o pertenece a la circunferencia del ejercicio anterior (\(x^2+y^2+8x-6y-11=0\)).

Solución:

Paso 1: Escribimos la ecuación en forma ordinaria (ya conocemos centro y radio):
\((x+4)^2 + (y-3)^2 = 36\).

Paso 2: Sustituimos \(x=1, y=2\):
\((1+4)^2 + (2-3)^2 = 5^2 + (-1)^2 = 25 + 1 = 26\)

Paso 3: Comparamos con \(r^2=36\): \(26 < 36\).

✔ El punto \(P\) es interior a la circunferencia.

📘 Ejercicio 4: Intersección con una recta (tangencia)

Enunciado: Halla la posición de la recta \( y = x + 1 \) respecto a la circunferencia \( (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \).

Solución:

Paso 1: Sustituimos \(y = x+1\) en la ecuación de la circunferencia:
\((x-1)^2 + (x+1+2)^2 = 4\)
\((x-1)^2 + (x+3)^2 = 4\)

Paso 2: Desarrollamos:
\((x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 6x + 9) = 4\)
\(2x^2 + 4x + 10 = 4\)
\(2x^2 + 4x + 6 = 0\)
Dividiendo entre 2: \(x^2 + 2x + 3 = 0\)

Paso 3: Calculamos el discriminante:
\(\Delta = (2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0\)

✔ Como \(\Delta < 0\), la recta no corta a la circunferencia (es exterior).

📘 Ejercicio 5: Ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos

Enunciado: Halla la ecuación general de la circunferencia que pasa por \(A(1,1)\), \(B(2,0)\) y \(C(3,2)\).

Solución:

Paso 1: Usamos la forma general \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\). Sustituimos cada punto:

  • Para \(A(1,1)\): \(1+1 + D + E + F = 0 \Rightarrow D+E+F = -2\) ... (1)
  • Para \(B(2,0)\): \(4+0 + 2D + 0 + F = 0 \Rightarrow 2D+F = -4\) ... (2)
  • Para \(C(3,2)\): \(9+4 + 3D + 2E + F = 0 \Rightarrow 3D+2E+F = -13\) ... (3)

Paso 2: Resolvemos el sistema:
De (2): \(F = -4 - 2D\).
Sustituimos en (1): \(D+E + (-4-2D) = -2 \Rightarrow -D+E -4 = -2 \Rightarrow -D+E = 2 \Rightarrow E = D+2\).
Sustituimos \(F\) y \(E\) en (3):
\(3D + 2(D+2) + (-4-2D) = -13\)
\(3D + 2D + 4 -4 -2D = -13\)
\(3D = -13 \Rightarrow D = -\frac{13}{3}\).
Luego \(E = D+2 = -\frac{13}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{7}{3}\).
Y \(F = -4 - 2\left(-\frac{13}{3}\right) = -4 + \frac{26}{3} = \frac{-12+26}{3} = \frac{14}{3}\).

Paso 3: Escribimos la ecuación: \[ x^2 + y^2 - \frac{13}{3}x - \frac{7}{3}y + \frac{14}{3} = 0 \] Multiplicamos por 3 para eliminar fracciones: \[ 3x^2 + 3y^2 - 13x - 7y + 14 = 0 \]

✔ \(3x^2+3y^2-13x-7y+14=0\)

✍️ EJERCICIOS PROPUESTOS (con respuestas)

Intenta resolverlos antes de mirar las soluciones.

1. Encuentra la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro \(C(0, -5)\) y radio \(2\sqrt{3}\).

Ver respuesta
\(x^2 + (y+5)^2 = 12\)

2. Halla el centro y radio de \(x^2+y^2-4x+10y+20=0\).

Ver respuesta
Centro \(C(2, -5)\), radio \(r=3\)

3. ¿El punto \(Q(3,4)\) pertenece, es interior o exterior a la circunferencia \( (x-1)^2+(y-2)^2=25 \)?

Ver respuesta
Interior (pues \( (3-1)^2+(4-2)^2 = 4+4=8 < 25 \))

4. Determina la posición de la recta \(y=2x-3\) respecto a la circunferencia \(x^2+y^2=5\).

Ver respuesta
Secante (corta en dos puntos).

5. Obtén la ecuación general de la circunferencia que tiene centro en \((-1,4)\) y pasa por el punto \(P(2,3)\).

Ver respuesta
\(x^2+y^2+2x-8y+7=0\) (desarrollando \((x+1)^2+(y-4)^2=10\))

6. (Desafío) Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por \(A(0,0)\), \(B(1,1)\) y tiene su centro sobre la recta \(x+y=4\).

Ver respuesta
\((x-2)^2+(y-2)^2=8\) (centro \((2,2)\), radio \(2\sqrt{2}\))

💡 Consejos finales

  • Para convertir de general a ordinaria, completa cuadrados en \(x\) y en \(y\).
  • Recuerda que el radio siempre es positivo.
  • En problemas de tangencia, la distancia del centro a la recta debe ser igual al radio.

¡Practica con los propuestos y verás qué fácil resulta!

¿Te gustó esta entrada? Déjame un comentario si necesitas más ejercicios o una explicación adicional. 😊

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