Factorización y simplificación de fracciones algebraicas

Guía progresiva con teoría, ejercicios resueltos paso a paso y aplicaciones en modelos de costos

1. Diferencia de cuadrados

¿Qué es la diferencia de cuadrados?

La diferencia de cuadrados es un producto notable que permite factorizar cualquier expresión de la forma \(a^2 - b^2\), donde ambos términos son cuadrados perfectos y están separados por un signo menos.

\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

¿Por qué funciona?

Si desarrollamos el producto \((a-b)(a+b)\) aplicando la propiedad distributiva:

\[ (a-b)(a+b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2 \]

Los términos \(ab\) y \(-ab\) se cancelan, dejando únicamente la diferencia de cuadrados.

¿Cómo identificar una diferencia de cuadrados?

La expresión debe tener exactamente dos términos.
Ambos términos deben ser cuadrados perfectos (números o variables con exponente par).
Debe existir un signo menos entre ellos.

Importante: La suma de cuadrados \(a^2 + b^2\) no se puede factorizar en los números reales. Solo la diferencia admite esta factorización.

Pasos para factorizar

Identificar \(a^2\) y \(b^2\).
Extraer la raíz cuadrada de cada término: \(a = \sqrt{a^2}\), \(b = \sqrt{b^2}\).
Escribir el producto \((a-b)(a+b)\).
Verificar si alguno de los factores puede factorizarse de nuevo.

Ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicio 1. Factoriza \(x^2 - 9\)

Paso 1. Identificamos la forma \(a^2 - b^2\).

Paso 2. Como \(x^2\) y \(9\) son cuadrados perfectos: \(a = x\), \(b = 3\).

Paso 3. Aplicamos \((a-b)(a+b)\).

Resultado: \((x-3)(x+3)\)

Ejercicio 2. Factoriza \(4x^2 - 25\)

Paso 1. \(4x^2 = (2x)^2\) y \(25 = 5^2\).

Paso 2. \(a = 2x\), \(b = 5\).

Paso 3. Aplicamos la fórmula.

Resultado: \((2x-5)(2x+5)\)

Ejercicio 3. Factoriza \(9a^2 - 16b^2\)

Paso 1. \(9a^2 = (3a)^2\), \(16b^2 = (4b)^2\).

Paso 2. \(a = 3a\), \(b = 4b\).

Paso 3. Aplicamos la fórmula.

Resultado: \((3a-4b)(3a+4b)\)

Ejercicio 4. Factoriza \(49m^2 - 64n^2\)

Paso 1. \(49m^2 = (7m)^2\), \(64n^2 = (8n)^2\).

Paso 2. \(a = 7m\), \(b = 8n\).

Resultado: \((7m-8n)(7m+8n)\)

Ejercicio 5. Factoriza \(x^4 - 16\)

Paso 1. \(x^4 = (x^2)^2\) y \(16 = 4^2\).

Paso 2. \(x^4 - 16 = (x^2-4)(x^2+4)\).

Paso 3. El factor \(x^2-4\) es otra diferencia de cuadrados: \((x-2)(x+2)\).

Paso 4. \(x^2+4\) no se factoriza en los reales.

Resultado: \((x-2)(x+2)(x^2+4)\)

Ejercicio 6. Factoriza \(25x^2 - 1\)

Paso 1. \(25x^2 = (5x)^2\), \(1 = 1^2\).

Paso 2. Aplicamos la fórmula con \(a = 5x\), \(b = 1\).

Resultado: \((5x-1)(5x+1)\)

Ejercicio 7. Factoriza \(81y^2 - 100\)

Paso 1. \(81y^2 = (9y)^2\), \(100 = 10^2\).

Resultado: \((9y-10)(9y+10)\)

Ejercicio 8. Factoriza \(a^2b^2 - 36\)

Paso 1. \(a^2b^2 = (ab)^2\), \(36 = 6^2\).

Resultado: \((ab-6)(ab+6)\)

Ejercicio 9. Factoriza \(16x^4 - 81y^4\)

Paso 1. \(16x^4 = (4x^2)^2\), \(81y^4 = (9y^2)^2\).

Paso 2. \((4x^2-9y^2)(4x^2+9y^2)\).

Paso 3. \(4x^2-9y^2 = (2x-3y)(2x+3y)\).

Resultado: \((2x-3y)(2x+3y)(4x^2+9y^2)\)

Ejercicio 10. Factoriza \(121 - 49m^2\)

Paso 1. \(121 = 11^2\), \(49m^2 = (7m)^2\).

Paso 2. Aplicamos la fórmula con \(a = 11\), \(b = 7m\).

Resultado: \((11-7m)(11+7m)\)

Ejercicios propuestos para practicar

1. \(x^2 - 49\)

\((x-7)(x+7)\)

2. \(9x^2 - 1\)

\((3x-1)(3x+1)\)

3. \(16a^2 - 25b^2\)

\((4a-5b)(4a+5b)\)

4. \(36m^2 - 49n^2\)

\((6m-7n)(6m+7n)\)

5. \(x^4 - 81\)

\((x-3)(x+3)(x^2+9)\)

6. \(64 - y^2\)

\((8-y)(8+y)\)

7. \(100a^2 - 121b^2\)

\((10a-11b)(10a+11b)\)

8. \(m^4n^4 - 16\)

\((mn-2)(mn+2)(m^2n^2+4)\)

9. \(1 - 4x^2\)

\((1-2x)(1+2x)\)

10. \(49x^6 - 25y^4\)

\((7x^3-5y^2)(7x^3+5y^2)\)

2. Factor común

¿Qué es el factor común?

El factor común es el factor que aparece en todos los términos de una expresión algebraica. Extraerlo consiste en aplicar la propiedad distributiva en sentido inverso:

\[ ab + ac = a(b+c) \]

¿Cómo encontrar el factor común?

Parte numérica: el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes.
Parte literal: la menor potencia de cada variable que aparece en todos los términos.

Pasos para factorizar por factor común

Identificar el MCD de los coeficientes.
Identificar las variables comunes con su menor exponente.
Dividir cada término entre el factor común.
Escribir el producto: factor común × (resultado de las divisiones).
Verificar distribuyendo.

Consejo: Si el primer término es negativo, suele extraerse también el signo menos como parte del factor común.

Ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicio 1. Factoriza \(6x+9\)

Paso 1. MCD de \(6\) y \(9\) es \(3\). No hay variables comunes.

Paso 2. Factor común: \(3\).

Paso 3. \(\frac{6x}{3} = 2x\), \(\frac{9}{3} = 3\).

Resultado: \(3(2x+3)\)

Ejercicio 2. Factoriza \(8a^2 - 12a\)

Paso 1. MCD de \(8\) y \(12\) es \(4\); variable común: \(a\) con menor exponente \(1\).

Paso 2. Factor común: \(4a\).

Paso 3. \(\frac{8a^2}{4a} = 2a\), \(\frac{12a}{4a} = 3\).

Resultado: \(4a(2a-3)\)

Ejercicio 3. Factoriza \(15m^3 + 10m^2\)

Paso 1. MCD de \(15\) y \(10\) es \(5\); variable común \(m\) con menor exponente \(2\).

Paso 2. Factor común: \(5m^2\).

Resultado: \(5m^2(3m+2)\)

Ejercicio 4. Factoriza \(4x^2y - 8xy^2\)

Paso 1. MCD de \(4\) y \(8\) es \(4\); variables comunes \(x\) e \(y\) con menores exponentes \(1\) y \(1\).

Paso 2. Factor común: \(4xy\).

Resultado: \(4xy(x-2y)\)

Ejercicio 5. Factoriza \(12a^3b^2 - 18a^2b^3\)

Paso 1. MCD de \(12\) y \(18\) es \(6\); \(a\) menor exponente \(2\); \(b\) menor exponente \(2\).

Paso 2. Factor común: \(6a^2b^2\).

Resultado: \(6a^2b^2(2a-3b)\)

Ejercicio 6. Factoriza \(5x^4 - 10x^3 + 15x^2\)

Paso 1. MCD de \(5, 10, 15\) es \(5\); variable \(x\) con menor exponente \(2\).

Paso 2. Factor común: \(5x^2\).

Resultado: \(5x^2(x^2-2x+3)\)

Ejercicio 7. Factoriza \(9m^2n - 6mn^2 + 3mn\)

Paso 1. MCD de \(9, 6, 3\) es \(3\); \(m\) menor exponente \(1\); \(n\) menor exponente \(1\).

Paso 2. Factor común: \(3mn\).

Resultado: \(3mn(3m-2n+1)\)

Ejercicio 8. Factoriza \(14x^3y^2 - 21x^2y^3 + 7x^2y^2\)

Paso 1. MCD de \(14, 21, 7\) es \(7\); \(x\) menor exponente \(2\); \(y\) menor exponente \(2\).

Paso 2. Factor común: \(7x^2y^2\).

Resultado: \(7x^2y^2(2x-3y+1)\)

Ejercicio 9. Factoriza \(20a^4b^2 - 30a^3b^3 + 10a^2b^4\)

Paso 1. MCD de \(20, 30, 10\) es \(10\); \(a\) menor exponente \(2\); \(b\) menor exponente \(2\).

Paso 2. Factor común: \(10a^2b^2\).

Resultado: \(10a^2b^2(2a^2-3ab+b^2)\)

Ejercicio 10. Factoriza \(24x^5y^3 - 36x^4y^4 + 12x^3y^5\)

Paso 1. MCD de \(24, 36, 12\) es \(12\); \(x\) menor exponente \(3\); \(y\) menor exponente \(3\).

Paso 2. Factor común: \(12x^3y^3\).

Resultado: \(12x^3y^3(2x^2-3xy+y^2)\)

Ejercicios propuestos para practicar

1. \(10x+15\)

\(5(2x+3)\)

2. \(6a^2-9a\)

\(3a(2a-3)\)

3. \(12m^3+18m^2\)

\(6m^2(2m+3)\)

4. \(5x^2y-10xy^2\)

\(5xy(x-2y)\)

5. \(8a^3b^2-12a^2b^3\)

\(4a^2b^2(2a-3b)\)

6. \(4x^4-8x^3+12x^2\)

\(4x^2(x^2-2x+3)\)

7. \(15m^2n+20mn^2-5mn\)

\(5mn(3m+4n-1)\)

8. \(9x^3y^2-6x^2y^3+3x^2y^2\)

\(3x^2y^2(3x-2y+1)\)

9. \(18a^4b^3-24a^3b^4+6a^2b^5\)

\(6a^2b^3(3a^2-4ab+b^2)\)

10. \(30x^5y^4-45x^4y^5+15x^3y^6\)

\(15x^3y^4(2x^2-3xy+y^2)\)

3. Factorización combinada: factor común y diferencia de cuadrados

¿Cómo combinar ambas técnicas?

Muchas expresiones algebraicas requieren aplicar primero el factor común y luego, sobre el factor restante, aplicar la diferencia de cuadrados. Este es el orden recomendado: siempre buscar el factor común antes que cualquier otra técnica.

Estrategia general

Paso 1: extraer el factor común (numérico y literal).
Paso 2: examinar el paréntesis resultante.
Paso 3: si el paréntesis es una diferencia de cuadrados, factorizarlo.
Paso 4: verificar si algún factor puede factorizarse de nuevo.

Recuerda: una expresión como \(x^4 - 16\) se puede ver como \((x^2)^2 - 4^2\). Muchas diferencias de cuadrados están "ocultas" y aparecen después de extraer el factor común.

Ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicio 1. Factoriza \(3x^2 - 27\)

Paso 1. Factor común numérico: \(3\).

Paso 2. \(3(x^2-9)\).

Paso 3. \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\).

Resultado: \(3(x-3)(x+3)\)

Ejercicio 2. Factoriza \(5x^2 - 20\)

Paso 1. Factor común: \(5\).

Paso 2. \(5(x^2-4) = 5(x-2)(x+2)\).

Resultado: \(5(x-2)(x+2)\)

Ejercicio 3. Factoriza \(2a^2 - 8b^2\)

Paso 1. Factor común: \(2\).

Paso 2. \(2(a^2-4b^2) = 2(a-2b)(a+2b)\).

Resultado: \(2(a-2b)(a+2b)\)

Ejercicio 4. Factoriza \(4x^3 - 16x\)

Paso 1. Factor común: \(4x\).

Paso 2. \(4x(x^2-4) = 4x(x-2)(x+2)\).

Resultado: \(4x(x-2)(x+2)\)

Ejercicio 5. Factoriza \(12x^2 - 3\)

Paso 1. Factor común: \(3\).

Paso 2. \(3(4x^2-1) = 3(2x-1)(2x+1)\).

Resultado: \(3(2x-1)(2x+1)\)

Ejercicio 6. Factoriza \(18m^2 - 50n^2\)

Paso 1. Factor común: \(2\).

Paso 2. \(2(9m^2-25n^2) = 2(3m-5n)(3m+5n)\).

Resultado: \(2(3m-5n)(3m+5n)\)

Ejercicio 7. Factoriza \(2x^4 - 32\)

Paso 1. Factor común: \(2\).

Paso 2. \(2(x^4-16) = 2(x^2-4)(x^2+4)\).

Paso 3. \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\).

Resultado: \(2(x-2)(x+2)(x^2+4)\)

Ejercicio 8. Factoriza \(5x^3 - 45x\)

Paso 1. Factor común: \(5x\).

Paso 2. \(5x(x^2-9) = 5x(x-3)(x+3)\).

Resultado: \(5x(x-3)(x+3)\)

Ejercicio 9. Factoriza \(4a^2b - 36b\)

Paso 1. Factor común: \(4b\).

Paso 2. \(4b(a^2-9) = 4b(a-3)(a+3)\).

Resultado: \(4b(a-3)(a+3)\)

Ejercicio 10. Factoriza \(3x^4 - 48\)

Paso 1. Factor común: \(3\).

Paso 2. \(3(x^4-16) = 3(x-2)(x+2)(x^2+4)\).

Resultado: \(3(x-2)(x+2)(x^2+4)\)

Ejercicios propuestos para practicar

1. \(2x^2 - 18\)

\(2(x-3)(x+3)\)

2. \(7a^2 - 28\)

\(7(a-2)(a+2)\)

3. \(3m^3 - 27m\)

\(3m(m-3)(m+3)\)

4. \(6x^2 - 54\)

\(6(x-3)(x+3)\)

5. \(8y^3 - 32y\)

\(8y(y-2)(y+2)\)

6. \(5a^4 - 45a^2\)

\(5a^2(a-3)(a+3)\)

7. \(2m^2n - 18n\)

\(2n(m-3)(m+3)\)

8. \(4x^2y^2 - 36y^2\)

\(4y^2(x-3)(x+3)\)

9. \(10x^3 - 40x\)

\(10x(x-2)(x+2)\)

10. \(3x^4 - 12x^2\)

\(3x^2(x-2)(x+2)\)

4. Simplificación de fracciones algebraicas

¿Qué es una fracción algebraica?

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios. Simplificarla consiste en dividir numerador y denominador por sus factores comunes, de modo que la fracción resultante sea equivalente a la original.

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \quad\text{se simplifica factorizando } P \text{ y } Q \text{ y cancelando factores comunes.} \]

Procedimiento

Factorizar completamente el numerador y el denominador (factor común, diferencia de cuadrados, etc.).
Cancelar los factores comunes del numerador y denominador.
Indicar las restricciones: el denominador original no puede ser cero y los factores cancelados tampoco pueden anularse (producen "huecos" en la gráfica).

Importante: Las restricciones se obtienen del denominador original, no del simplificado. Por ejemplo, en \(\frac{x^2-1}{x-1} = x+1\) debemos exigir \(x \neq 1\), aunque \(x+1\) esté definido en \(x=1\). Esa es una discontinuidad evitable.

Ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicio 1. Simplifica \(\dfrac{3x^2 - 27}{6x - 18}\)

Paso 1. Numerador: \(3(x^2-9) = 3(x-3)(x+3)\).

Paso 2. Denominador: \(6(x-3)\).

Paso 3. Cancelamos \(3(x-3)\): \(\dfrac{(x+3)}{2}\).

Resultado: \(\dfrac{x+3}{2}\), con \(x \neq 3\)

Ejercicio 2. Simplifica \(\dfrac{5a^2 - 20}{10a + 20}\)

Paso 1. Numerador: \(5(a-2)(a+2)\).

Paso 2. Denominador: \(10(a+2)\).

Paso 3. Cancelamos \(5(a+2)\): \(\dfrac{a-2}{2}\).

Resultado: \(\dfrac{a-2}{2}\), con \(a \neq -2\)

Ejercicio 3. Simplifica \(\dfrac{2x^3 - 8x}{4x^2 - 16}\)

Paso 1. Numerador: \(2x(x^2-4) = 2x(x-2)(x+2)\).

Paso 2. Denominador: \(4(x^2-4) = 4(x-2)(x+2)\).

Paso 3. Cancelamos \(2(x-2)(x+2)\): \(\dfrac{x}{2}\).

Resultado: \(\dfrac{x}{2}\), con \(x \neq \pm 2\)

Ejercicio 4. Simplifica \(\dfrac{9m^2 - 36}{3m^2 + 6m}\)

Paso 1. Numerador: \(9(m-2)(m+2)\).

Paso 2. Denominador: \(3m(m+2)\).

Paso 3. Cancelamos \(3(m+2)\): \(\dfrac{3(m-2)}{m}\).

Resultado: \(\dfrac{3(m-2)}{m}\), con \(m \neq 0, -2\)

Ejercicio 5. Simplifica \(\dfrac{4a^2b - 36b}{8ab - 24b}\)

Paso 1. Numerador: \(4b(a^2-9) = 4b(a-3)(a+3)\).

Paso 2. Denominador: \(8b(a-3)\).

Paso 3. Cancelamos \(4b(a-3)\): \(\dfrac{a+3}{2}\).

Resultado: \(\dfrac{a+3}{2}\), con \(b \neq 0,\ a \neq 3\)

Ejercicio 6. Simplifica \(\dfrac{7x^2 - 63}{14x - 42}\)

Paso 1. Numerador: \(7(x-3)(x+3)\).

Paso 2. Denominador: \(14(x-3)\).

Paso 3. Cancelamos \(7(x-3)\): \(\dfrac{x+3}{2}\).

Resultado: \(\dfrac{x+3}{2}\), con \(x \neq 3\)

Ejercicio 7. Simplifica \(\dfrac{12y^3 - 27y}{6y^2 + 9y}\)

Paso 1. Numerador: \(3y(4y^2-9) = 3y(2y-3)(2y+3)\).

Paso 2. Denominador: \(3y(2y+3)\).

Paso 3. Cancelamos \(3y(2y+3)\): \(2y-3\).

Resultado: \(2y-3\), con \(y \neq 0, -\tfrac{3}{2}\)

Ejercicio 8. Simplifica \(\dfrac{10a^2 - 40b^2}{5a + 10b}\)

Paso 1. Numerador: \(10(a-2b)(a+2b)\).

Paso 2. Denominador: \(5(a+2b)\).

Paso 3. Cancelamos \(5(a+2b)\): \(2(a-2b)\).

Resultado: \(2(a-2b) = 2a - 4b\), con \(a \neq -2b\)

Ejercicio 9. Simplifica \(\dfrac{6x^2y - 54y}{3xy - 9y}\)

Paso 1. Numerador: \(6y(x^2-9) = 6y(x-3)(x+3)\).

Paso 2. Denominador: \(3y(x-3)\).

Paso 3. Cancelamos \(3y(x-3)\): \(2(x+3)\).

Resultado: \(2(x+3) = 2x+6\), con \(y \neq 0,\ x \neq 3\)

Ejercicio 10. Simplifica \(\dfrac{8m^4 - 32m^2}{4m^3 + 8m^2}\)

Paso 1. Numerador: \(8m^2(m^2-4) = 8m^2(m-2)(m+2)\).

Paso 2. Denominador: \(4m^2(m+2)\).

Paso 3. Cancelamos \(4m^2(m+2)\): \(2(m-2)\).

Resultado: \(2(m-2) = 2m-4\), con \(m \neq 0, -2\)

Ejercicios propuestos para practicar

1. \(\dfrac{2x^2 - 8}{4x - 8}\)

\(\dfrac{x+2}{2}\), con \(x \neq 2\)

2. \(\dfrac{3a^2 - 12}{6a + 12}\)

\(\dfrac{a-2}{2}\), con \(a \neq -2\)

3. \(\dfrac{5m^2 - 45}{10m - 30}\)

\(\dfrac{m+3}{2}\), con \(m \neq 3\)

4. \(\dfrac{4y^3 - 16y}{8y^2 + 16y}\)

\(\dfrac{y-2}{2}\), con \(y \neq 0, -2\)

5. \(\dfrac{6x^2y - 24y}{3xy - 6y}\)

\(2(x+2)\), con \(y \neq 0,\ x \neq 2\)

6. \(\dfrac{9a^2 - 81}{3a^2 + 9a}\)

\(\dfrac{3(a-3)}{a}\), con \(a \neq 0, -3\)

7. \(\dfrac{10m^2 - 40}{5m + 10}\)

\(2(m-2)\), con \(m \neq -2\)

8. \(\dfrac{7x^3 - 28x}{14x^2 - 28x}\)

\(\dfrac{x+2}{2}\), con \(x \neq 0, 2\)

9. \(\dfrac{12a^4 - 48a^2}{6a^3 + 12a^2}\)

\(2(a-2)\), con \(a \neq 0, -2\)

10. \(\dfrac{2b^3 - 18b}{4b^2 - 12b}\)

\(\dfrac{b+3}{2}\), con \(b \neq 0, 3\)

5. Estudios de caso: simplificación de fracciones en modelos de costos

¿Por qué simplificar fracciones en economía y administración?

En modelos de costos, ingresos y productividad, es común encontrarse con cocientes de polinomios. Simplificarlos permite:

Eliminar indeterminaciones evitables (como \(0/0\)).
Identificar el comportamiento límite de una función económica.
Calcular valores puntuales con fórmulas más simples.
Interpretar mejor la relación entre variables (lineal, cuadrática, etc.).

A continuación se presentan 10 casos reales de modelos de costos donde la simplificación es clave.

Caso 1: Costo promedio por unidad en una fábrica de muebles

Contexto: Una fábrica produce \(x\) escritorios al mes. El costo total mensual (en miles de pesos) es \(CT(x) = 3x^2 - 27\). El área de finanzas analiza el costo promedio \(CP(x) = \dfrac{3x^2 - 27}{x - 3}\), con \(x \neq 3\).

Modelo: \[ CP(x) = \frac{3x^2 - 27}{x - 3} \]

Paso 1. Numerador: \(3(x^2 - 9) = 3(x-3)(x+3)\).

Paso 2. \(CP(x) = \dfrac{3(x-3)(x+3)}{x-3}\).

Paso 3. Cancelamos \(x-3\): \(CP(x) = 3(x+3)\).

Resultado: \(CP(x) = 3x + 9\), con \(x \neq 3\)

Interpretación: El costo promedio crece linealmente a razón de 3 mil pesos por escritorio adicional, con un cargo base de 9 mil pesos. En \(x=3\) hay una indeterminación evitable: el modelo matemático "se acerca" a \(3(3)+9 = 18\), aunque la fórmula original no esté definida ahí.

Caso 2: Costo unitario de un servicio de consultoría

Contexto: Una consultora cobra \(Cu(q) = \dfrac{5q^2 - 20}{q + 2}\) miles de pesos por cliente, donde \(q\) es el número de clientes atendidos (\(q > 0\)).

Modelo: \[ Cu(q) = \frac{5q^2 - 20}{q + 2} \]

Paso 1. Numerador: \(5(q-2)(q+2)\).

Paso 2. Cancelamos \(q+2\).

Resultado: \(Cu(q) = 5(q-2) = 5q - 10\), con \(q \neq -2\)

Interpretación: El costo unitario crece 5 mil pesos por cada cliente adicional, menos un descuento fijo de 10 mil pesos. La restricción \(q \neq -2\) no afecta el dominio económico (los clientes son positivos).

Caso 3: Precio promedio por lote en una panadería

Contexto: Una panadería vende \(m\) lotes de pan. El precio promedio por lote es \(P(m) = \dfrac{2m^3 - 8m}{2m^2 - 4m}\), con \(m > 2\).

Modelo: \[ P(m) = \frac{2m^3 - 8m}{2m^2 - 4m} \]

Paso 1. Numerador: \(2m(m-2)(m+2)\).

Paso 2. Denominador: \(2m(m-2)\).

Paso 3. Cancelamos \(2m(m-2)\).

Resultado: \(P(m) = m+2\), con \(m \neq 0, 2\)

Interpretación: El precio promedio por lote es \(m+2\) pesos: crece linealmente con el volumen. Aunque la fórmula original tiene dos indeterminaciones (\(m=0\) y \(m=2\)), en el contexto económico solo interesa \(m>2\).

Caso 4: Razón costo/beneficio de una startup tecnológica

Contexto: Una startup tiene costos \(C(x) = 4x^2 - 36\) y beneficios \(B(x) = 2x - 6\) (en miles de dólares), con \(x > 3\). Se analiza la razón \(R(x) = \dfrac{C(x)}{B(x)}\).

Modelo: \[ R(x) = \frac{4x^2 - 36}{2x - 6} \]

Paso 1. Numerador: \(4(x-3)(x+3)\).

Paso 2. Denominador: \(2(x-3)\).

Paso 3. Cancelamos \(2(x-3)\).

Resultado: \(R(x) = 2(x+3) = 2x+6\), con \(x \neq 3\)

Interpretación: La razón costo/beneficio crece linealmente: cada mil dólares adicionales de beneficio se asocian con 2 mil dólares de costo, más un fijo de 6 mil. La restricción \(x \neq 3\) muestra que el modelo no aplica cuando el beneficio es nulo.

Caso 5: Costo marginal en una planta química

Contexto: Una planta produce \(t\) toneladas. Su costo marginal está modelado por \(CM(t) = \dfrac{6t^2 - 54}{3t - 9}\), con \(t > 3\).

Modelo: \[ CM(t) = \frac{6t^2 - 54}{3t - 9} \]

Paso 1. Numerador: \(6(t-3)(t+3)\).

Paso 2. Denominador: \(3(t-3)\).

Paso 3. Cancelamos \(3(t-3)\).

Resultado: \(CM(t) = 2(t+3) = 2t+6\), con \(t \neq 3\)

Interpretación: El costo marginal crece 2 unidades monetarias por tonelada adicional, con un cargo base de 6. La restricción \(t \neq 3\) evita el punto donde el modelo original se indetermina.

Caso 6: Ingreso promedio por producto en una tienda en línea

Contexto: Una tienda tiene ingresos \(I(p) = 10p^2 - 40\) (miles de pesos) y vende \(5p - 10\) productos, donde \(p\) es el precio unitario. El ingreso promedio es \(IP(p) = \dfrac{10p^2 - 40}{5p - 10}\).

Modelo: \[ IP(p) = \frac{10p^2 - 40}{5p - 10} \]

Paso 1. Numerador: \(10(p-2)(p+2)\).

Paso 2. Denominador: \(5(p-2)\).

Paso 3. Cancelamos \(5(p-2)\).

Resultado: \(IP(p) = 2(p+2) = 2p+4\), con \(p \neq 2\)

Interpretación: El ingreso promedio por producto es \(2p+4\) miles de pesos. La restricción \(p \neq 2\) señala que el modelo pierde sentido cuando el precio unitario es 2 mil pesos (productos vendidos = 0).

Caso 7: Costo por unidad producida en una empresa manufacturera

Contexto: Una empresa produce \(n\) unidades. El costo por unidad es \(C(n) = \dfrac{8n^3 - 32n}{4n^2 - 8n}\), con \(n > 2\).

Modelo: \[ C(n) = \frac{8n^3 - 32n}{4n^2 - 8n} \]

Paso 1. Numerador: \(8n(n^2-4) = 8n(n-2)(n+2)\).

Paso 2. Denominador: \(4n(n-2)\).

Paso 3. Cancelamos \(4n(n-2)\).

Resultado: \(C(n) = 2(n+2) = 2n+4\), con \(n \neq 0, 2\)

Interpretación: El costo por unidad crece 2 unidades monetarias por unidad adicional, más un cargo de 4. Las restricciones \(n \neq 0\) y \(n \neq 2\) reflejan puntos donde el modelo original se indetermina.

Caso 8: Ahorro por unidad en una empresa de logística

Contexto: Una empresa calcula su ahorro por unidad como \(A(s) = \dfrac{9s^2 - 81}{3s^2 + 9s}\), con \(s > 3\).

Modelo: \[ A(s) = \frac{9s^2 - 81}{3s^2 + 9s} \]

Paso 1. Numerador: \(9(s-3)(s+3)\).

Paso 2. Denominador: \(3s(s+3)\).

Paso 3. Cancelamos \(3(s+3)\).

Resultado: \(A(s) = \dfrac{3(s-3)}{s} = 3 - \dfrac{9}{s}\), con \(s \neq 0, -3\)

Interpretación: El ahorro por unidad tiende a 3 unidades monetarias a medida que \(s\) crece. La forma \(3 - 9/s\) muestra que el ahorro siempre es menor que 3 para \(s > 0\) y se aproxima asintóticamente a 3.

Caso 9: Costo medio en función del tiempo

Contexto: Una empresa mide su costo medio (en millones de pesos) a lo largo de \(t\) años: \(CM(t) = \dfrac{12t^4 - 48t^2}{6t^3 + 12t^2}\), con \(t > 2\).

Modelo: \[ CM(t) = \frac{12t^4 - 48t^2}{6t^3 + 12t^2} \]

Paso 1. Numerador: \(12t^2(t^2-4) = 12t^2(t-2)(t+2)\).

Paso 2. Denominador: \(6t^2(t+2)\).

Paso 3. Cancelamos \(6t^2(t+2)\).

Resultado: \(CM(t) = 2(t-2) = 2t-4\), con \(t \neq 0, -2\)

Interpretación: El costo medio crece 2 millones por año, partiendo de un valor negativo en \(t=2\) (posible subsidio o ahorro inicial). El modelo es válido solo para \(t > 2\), donde tiene sentido económico.

Caso 10: Razón de productividad en una consultora

Contexto: Una consultora mide la productividad como \(R(q) = \dfrac{14q^2 - 126}{7q - 21}\), con \(q > 3\), donde \(q\) es el número de proyectos ejecutados.

Modelo: \[ R(q) = \frac{14q^2 - 126}{7q - 21} \]

Paso 1. Numerador: \(14(q-3)(q+3)\).

Paso 2. Denominador: \(7(q-3)\).

Paso 3. Cancelamos \(7(q-3)\).

Resultado: \(R(q) = 2(q+3) = 2q+6\), con \(q \neq 3\)

Interpretación: La razón de productividad crece 2 unidades por cada proyecto adicional, con una base de 6. La restricción \(q \neq 3\) indica que el modelo no está definido cuando solo se ejecutan 3 proyectos (por la indeterminación \(0/0\)).

Fin de la guía. Practica cada sección en orden: primero diferencia de cuadrados, luego factor común, después la combinación de ambas, y finalmente la simplificación con aplicaciones reales. La constancia es la clave del dominio algebraico.

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