Suma y Resta de Polinomios

📘 Suma y resta de polinomios

Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por la suma o diferencia de varios términos, donde cada término tiene un coeficiente numérico (entero, decimal o fraccionario) y una parte literal (variables con exponentes enteros no negativos). Sumar y restar polinomios es una de las operaciones más importantes del álgebra, porque aparece en la simplificación de expresiones, en la resolución de ecuaciones y en el estudio de funciones.

Definición. Un polinomio en la variable \(x\) se escribe como: \[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \] donde \(a_n, a_{n-1}, \dots, a_0\) son números reales llamados coeficientes y los exponentes son enteros no negativos.

🔑 Términos semejantes

Dos o más términos son semejantes cuando tienen exactamente la misma parte literal (mismas variables con los mismos exponentes). Solo los términos semejantes se pueden sumar o restar entre sí; para ello se suman o restan sus coeficientes y se conserva la parte literal.

\[ 5x^2y \quad \text{y} \quad -3x^2y \;\longrightarrow\; (5-3)x^2y = 2x^2y \]

🔑 Regla general para sumar y restar polinomios

1. Se ordenan los polinomios, preferiblemente en orden descendente respecto a una variable.
2. Se agrupan los términos semejantes.
3. Para la suma, se conservan los signos de todos los términos.
4. Para la resta, se cambia el signo de todos los términos del polinomio que se resta (se suma su opuesto).
5. Se reducen los términos semejantes operando sus coeficientes.

\[ \textbf{Suma: } (P+Q)(x) = P(x) + Q(x) \] \[ \textbf{Resta: } (P-Q)(x) = P(x) + [-Q(x)] \]

🧭 Dos métodos para sumar y restar polinomios

Existen dos formas equivalentes de organizar el trabajo. Elige la que te resulte más cómoda; ambas llegan al mismo resultado.

Método 1 Método horizontal

Se escriben los polinomios uno a continuación del otro, se identifican y agrupan los términos semejantes y se reducen sus coeficientes. Es el método más rápido cuando los polinomios tienen pocos términos o varias variables.

\[ (3x^2 + 4x - 5) + (2x^2 - 7x + 1) = (3x^2 + 2x^2) + (4x - 7x) + (-5 + 1) = 5x^2 - 3x - 4 \]

Método 2 Método vertical

Se colocan los polinomios uno debajo del otro, alineando los términos semejantes en la misma columna (normalmente se ordenan de mayor a menor grado y se dejan espacios o ceros para los grados faltantes). Luego se suman o restan los coeficientes de cada columna.

\[ \begin{array}{r} 3x^2 + 4x - 5 \\[2pt] +\; 2x^2 - 7x + 1 \\[2pt] \hline 5x^2 - 3x - 4 \end{array} \]

En la resta, primero se cambia el signo a todos los términos del sustraendo y después se suma columna por columna:

\[ \begin{array}{r} 5x^2 + 3x - 2 \\[2pt] -\;(2x^2 - 6x + 4) \\[2pt] \hline 5x^2 + 3x - 2 \\[2pt] +\;(-2x^2 + 6x - 4) \\[2pt] \hline 3x^2 + 9x - 6 \end{array} \]

💡 Consejo: el método vertical es especialmente útil con polinomios de una sola variable y muchos términos, porque evita olvidar alguno. El método horizontal es más práctico con polinomios de varias variables.

🔢 Coeficientes fraccionarios

Cuando los coeficientes son fracciones, el procedimiento es exactamente el mismo: se agrupan los términos semejantes y se suman o restan las fracciones (con igual denominador se opera sobre los numeradores; con distinto denominador se busca el mínimo común múltiplo). Conviene escribir el coeficiente fraccionario entre paréntesis para evitar confusiones con la parte literal.

\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \qquad \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \] \[ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd} \]

Ejemplo rápido. \[ \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{1}{3}x^2 = \left(\tfrac{3}{6} + \tfrac{2}{6}\right)x^2 = \tfrac{5}{6}x^2 \]

📝 Ejemplo 1 — Suma de polinomios (ambos métodos)

Sean \(P(x) = 4x^3 + 2x^2 - 5x + 7\) y \(Q(x) = 3x^3 - 6x^2 + 4x - 2\). Hallar \(P(x)+Q(x)\).

Horizontal

1) Escribimos los polinomios uno a continuación del otro: \[ (4x^3 + 2x^2 - 5x + 7) + (3x^3 - 6x^2 + 4x - 2) \]

2) Agrupamos términos semejantes por grado: \[ (4x^3 + 3x^3) + (2x^2 - 6x^2) + (-5x + 4x) + (7 - 2) \]

3) Reducimos coeficientes: \[ 7x^3 - 4x^2 - x + 5 \]

Vertical

1) Ordenamos y alineamos por columnas según el grado: \[ \begin{array}{r} 4x^3 + 2x^2 - 5x + 7 \\[2pt] +\; 3x^3 - 6x^2 + 4x - 2 \\[2pt] \hline \end{array} \]

2) Sumamos columna por columna (\(x^3\!:\!4+3=7\), \(x^2\!:\!2-6=-4\), \(x\!:\!-5+4=-1\), \(c\!:\!7-2=5\)): \[ \begin{array}{r} 4x^3 + 2x^2 - 5x + 7 \\[2pt] +\; 3x^3 - 6x^2 + 4x - 2 \\[2pt] \hline 7x^3 - 4x^2 - x + 5 \end{array} \]

✅ Resultado: \[ P(x)+Q(x) = 7x^3 - 4x^2 - x + 5 \]

📝 Ejemplo 2 — Resta de polinomios (ambos métodos)

Sean \(A(x) = 6x^4 - 3x^2 + 5x - 1\) y \(B(x) = 2x^4 + 4x^2 - 7x + 3\). Hallar \(A(x)-B(x)\).

Horizontal

1) Cambiamos el signo a TODO el segundo polinomio: \[ (6x^4 - 3x^2 + 5x - 1) + (-2x^4 - 4x^2 + 7x - 3) \]

2) Agrupamos términos semejantes: \[ (6x^4 - 2x^4) + (-3x^2 - 4x^2) + (5x + 7x) + (-1 - 3) \]

3) Reducimos: \[ 4x^4 - 7x^2 + 12x - 4 \]

Vertical

1) Colocamos el minuendo y, debajo, el sustraendo con signos cambiados: \[ \begin{array}{r} 6x^4 + 0x^3 - 3x^2 + 5x - 1 \\[2pt] +\;(-2x^4 + 0x^3 - 4x^2 + 7x - 3) \\[2pt] \hline \end{array} \]

2) Sumamos columna por columna: \[ \begin{array}{r} 6x^4 + 0x^3 - 3x^2 + 5x - 1 \\[2pt] +\;(-2x^4 + 0x^3 - 4x^2 + 7x - 3) \\[2pt] \hline 4x^4 + 0x^3 - 7x^2 + 12x - 4 \end{array} \]

✅ Resultado: \[ A(x)-B(x) = 4x^4 - 7x^2 + 12x - 4 \]

📝 Ejemplo 3 — Suma con coeficientes fraccionarios (ambos métodos)

Sumar \(P(x) = \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{2}{3}x - 1\) y \(Q(x) = \tfrac{1}{3}x^2 - \tfrac{1}{6}x + \tfrac{3}{4}\).

Horizontal

1) Escribimos la suma: \[ \left(\tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{2}{3}x - 1\right) + \left(\tfrac{1}{3}x^2 - \tfrac{1}{6}x + \tfrac{3}{4}\right) \]

2) Agrupamos términos semejantes: \[ \left(\tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{1}{3}x^2\right) + \left(\tfrac{2}{3}x - \tfrac{1}{6}x\right) + \left(-1 + \tfrac{3}{4}\right) \]

3) Sumamos las fracciones (con m.c.m.): \[ x^2:\;\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{3}{6}+\tfrac{2}{6}=\tfrac{5}{6} \quad x:\;\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{6}=\tfrac{4}{6}-\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2} \quad c:\;-1+\tfrac{3}{4}=-\tfrac{1}{4} \]

Vertical

1) Alineamos por columnas: \[ \begin{array}{r} \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{2}{3}x - 1 \\[4pt] +\; \tfrac{1}{3}x^2 - \tfrac{1}{6}x + \tfrac{3}{4} \\[4pt] \hline \end{array} \]

2) Sumamos columna por columna: \[ \begin{array}{r} \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{2}{3}x - 1 \\[4pt] +\; \tfrac{1}{3}x^2 - \tfrac{1}{6}x + \tfrac{3}{4} \\[4pt] \hline \tfrac{5}{6}x^2 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{4} \end{array} \]

✅ Resultado: \[ P(x)+Q(x) = \tfrac{5}{6}x^2 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{4} \]

📝 Ejemplo 4 — Resta con coeficientes fraccionarios (ambos métodos)

Restar \(A(x) = \tfrac{3}{4}x^3 - \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{2}{5}x\) y \(B(x) = \tfrac{1}{4}x^3 + \tfrac{1}{3}x^2 - \tfrac{1}{10}x + 2\).

Horizontal

1) Cambiamos el signo al segundo polinomio: \[ \tfrac{3}{4}x^3 - \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{2}{5}x - \tfrac{1}{4}x^3 - \tfrac{1}{3}x^2 + \tfrac{1}{10}x - 2 \]

2) Agrupamos términos semejantes: \[ \left(\tfrac{3}{4}x^3 - \tfrac{1}{4}x^3\right) + \left(-\tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^2\right) + \left(\tfrac{2}{5}x + \tfrac{1}{10}x\right) - 2 \]

3) Operamos las fracciones: \[ x^3:\;\tfrac{1}{2} \quad x^2:\;-\tfrac{5}{6} \quad x:\;\tfrac{1}{2} \quad c:\;-2 \]

Vertical

1) Alineamos cambiando los signos del sustraendo: \[ \begin{array}{r} \tfrac{3}{4}x^3 - \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{2}{5}x + 0 \\[4pt] +\;(-\tfrac{1}{4}x^3 - \tfrac{1}{3}x^2 + \tfrac{1}{10}x - 2) \\[4pt] \hline \end{array} \]

2) Sumamos columna por columna: \[ \begin{array}{r} \tfrac{3}{4}x^3 - \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{2}{5}x + 0 \\[4pt] +\;(-\tfrac{1}{4}x^3 - \tfrac{1}{3}x^2 + \tfrac{1}{10}x - 2) \\[4pt] \hline \tfrac{1}{2}x^3 - \tfrac{5}{6}x^2 + \tfrac{1}{2}x - 2 \end{array} \]

✅ Resultado: \[ A(x)-B(x) = \tfrac{1}{2}x^3 - \tfrac{5}{6}x^2 + \tfrac{1}{2}x - 2 \]

📝 Ejemplo 5 — Suma con varias variables y una fracción (método horizontal)

Sumar: \(\left(3x^2y - 5xy^2 + 2xy\right) + \left(-\tfrac{1}{2}x^2y + 7xy^2 - 6xy\right)\)

1) Agrupamos por parte literal: \[ \left(3x^2y - \tfrac{1}{2}x^2y\right) + \left(-5xy^2 + 7xy^2\right) + \left(2xy - 6xy\right) \]

2) Operamos: \[ 3 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2} \quad;\quad -5 + 7 = 2 \quad;\quad 2 - 6 = -4 \]

✅ Resultado: \[ \tfrac{5}{2}x^2y + 2xy^2 - 4xy \]

🧮 Ejercicios propuestos

Suma de polinomios (10 ejercicios)

1. \((3x^2 + 4x - 5) + (2x^2 - 7x + 1)\)
2. \((5x^3 - 2x + 6) + (-3x^3 + 8x^2 - 4)\)
3. \(\left(\tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{2}{3}x - 1\right) + \left(\tfrac{1}{3}x^2 - \tfrac{1}{6}x + \tfrac{3}{4}\right)\)
4. \((7a^2b - 2ab^2 + ab) + (-4a^2b + 6ab^2 - 3ab)\)
5. \((2m^3 - 5m^2 + 3) + (6m^3 + 4m^2 - 8m + 1)\)
6. \(\left(\tfrac{3}{4}x^3 - \tfrac{1}{2}x + 2\right) + \left(\tfrac{1}{4}x^3 + \tfrac{3}{2}x - 5\right)\)
7. \((3x^2y^2 - 2xy + 5) + (x^2y^2 + 7xy - 9)\)
8. \((6p^4 - p^2 + 4p - 1) + (-2p^4 + 3p^2 + p + 5)\)
9. \(\left(\tfrac{2}{5}a^2 + \tfrac{1}{3}a - 1\right) + \left(\tfrac{3}{5}a^2 - \tfrac{2}{3}a + 4\right)\)
10. \((9x^2 - 4x + 8) + (-9x^2 + 4x - 8)\)

Respuestas (solo resultados):

1. \(5x^2 - 3x - 4\)
2. \(2x^3 + 8x^2 - 2x + 2\)
3. \(\tfrac{5}{6}x^2 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{4}\)
4. \(3a^2b + 4ab^2 - 2ab\)
5. \(8m^3 - m^2 - 8m + 4\)
6. \(x^3 + x - 3\)
7. \(4x^2y^2 + 5xy - 4\)
8. \(4p^4 + 2p^2 + 5p + 4\)
9. \(a^2 - \tfrac{1}{3}a + 3\)
10. \(0\) (polinomio nulo)

Resta de polinomios (10 ejercicios)

1. \((5x^2 + 3x - 2) - (2x^2 - 6x + 4)\)
2. \((7x^3 - 4x + 9) - (3x^3 + 2x^2 - 5)\)
3. \(\left(\tfrac{3}{4}x^3 - \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{2}{5}x\right) - \left(\tfrac{1}{4}x^3 + \tfrac{1}{3}x^2 - \tfrac{1}{10}x + 2\right)\)
4. \((8a^2b - 3ab^2 + 2ab) - (5a^2b + 4ab^2 - ab)\)
5. \((6m^3 + 2m^2 - 7) - (-3m^3 + 5m^2 - 4m + 2)\)
6. \(\left(\tfrac{5}{2}y^2 - \tfrac{1}{3}y + 1\right) - \left(\tfrac{1}{2}y^2 + \tfrac{2}{3}y - 3\right)\)
7. \((4x^2y^2 + 3xy - 8) - (6x^2y^2 - 2xy + 5)\)
8. \((9p^4 - 3p^2 + p - 2) - (4p^4 + 2p^2 - 6p + 7)\)
9. \(\left(\tfrac{2}{3}a^3 - \tfrac{1}{4}a^2 + a\right) - \left(\tfrac{1}{3}a^3 + \tfrac{3}{4}a^2 - 2a\right)\)
10. \((2x^2 + 5x - 1) - (2x^2 + 5x - 1)\)

Respuestas (solo resultados):

1. \(3x^2 + 9x - 6\)
2. \(4x^3 - 2x^2 - 4x + 14\)
3. \(\tfrac{1}{2}x^3 - \tfrac{5}{6}x^2 + \tfrac{1}{2}x - 2\)
4. \(3a^2b - 7ab^2 + 3ab\)
5. \(9m^3 - 3m^2 + 4m - 9\)
6. \(2y^2 - y + 4\)
7. \(-2x^2y^2 + 5xy - 13\)
8. \(5p^4 - 5p^2 + 7p - 9\)
9. \(\tfrac{1}{3}a^3 - a^2 + 3a\)
10. \(0\) (polinomio nulo)

⚙️ Calculadora de suma y resta de polinomios

Escribe cada polinomio usando ^ para los exponentes, * para la multiplicación y / para las fracciones. Ejemplos válidos: 4x^3 + 2x^2 - 5x + 7  ·  1/2x^2 - 3/4x + 1  ·  (2/3)x^3 + x - 5

Polinomio A

Polinomio B

Operación A + B (suma) A − B (resta)

Método para el procedimiento Horizontal (agrupando términos) Vertical (columnas alineadas) Mostrar ambos métodos

💡 Variables: x, y, a, b, m, p. Exponentes con ^. Fracciones: 1/2, -3/4 o (2/3). Los resultados se muestran como fracción simplificada.

📋 Procedimiento: