Matemáticas · Números enteros

Jerarquía de operaciones y propiedades de los números enteros

Domina el orden correcto en que deben resolverse las operaciones y descubre las reglas que gobiernan a los números enteros. Teoría clara, ejemplos paso a paso y ejercicios para practicar.

PAPOMUDAS Regla de signos 10 resueltos · Jerarquía 10 resueltos · Propiedades 10 propuestos

Contenido de la entrada

1. ¿Qué es la jerarquía de operaciones?
2. Los cuatro niveles de prioridad
3. Errores clásicos y cómo evitarlos
4. El conjunto de los números enteros
5. Propiedades de los enteros
6. Reglas de signos
7. 10 ejercicios resueltos · Jerarquía
8. 10 ejercicios resueltos · Propiedades
9. 10 ejercicios propuestos

1 ¿Qué es la jerarquía de operaciones?

El orden que evita el caos numérico

Cuando en una misma expresión aparecen varias operaciones combinadas —sumas, restas, multiplicaciones, potencias, paréntesis—, no podemos resolverlas simplemente de izquierda a derecha. Existe un acuerdo universal llamado jerarquía de operaciones (o prioridad de operaciones) que establece qué operación se resuelve primero.

Gracias a esta regla, cualquier persona en cualquier parte del mundo obtiene exactamente el mismo resultado al resolver la misma expresión. Sin ella, la matemática sería ambigua e incomunicable.

Idea clave La jerarquía no es un capricho: es una convención que garantiza que una expresión matemática tenga un único valor. Si no existiera, \(2+3\times 4\) podría valer \(20\) o \(14\) según el orden elegido.

Un ejemplo que lo demuestra

Observa la misma expresión resuelta de dos maneras distintas:

Forma de resolver	Procedimiento	Resultado
Sin jerarquía (suma primero)	\((2+3)\times 4 = 5\times 4\)	\(20\)
Con jerarquía (producto primero)	\(2+3\times 4 = 2+12\)	\(14\)

La comunidad matemática adoptó el segundo criterio: la multiplicación tiene prioridad sobre la suma. Por eso, \(2+3\times 4 = 14\).

2 Los cuatro niveles de prioridad

De mayor a menor importancia

1

Signos de agrupación Paréntesis \(( )\), corchetes \([ ]\) y llaves \(\{ \}\). Se resuelven de adentro hacia afuera: primero lo más interno.

2

Potencias y raíces Se aplican antes que cualquier multiplicación, división, suma o resta. Recuerda: \(-3^2 = -9\) pero \((-3)^2 = 9\).

3

Multiplicaciones y divisiones Tienen el mismo nivel entre sí, por lo que se resuelven de izquierda a derecha según aparecen.

4

Sumas y restas También comparten nivel y se resuelven de izquierda a derecha. Son las últimas operaciones en ejecutarse.

Regla mnemotécnica: PAPOMUDAS PAréntesis → POtencias → MUltiplicación y División → Adición y Sustracción. (En inglés se conoce como PEMDAS.)

La barra de fracción y el radical también agrupan

Una barra de fracción funciona como un paréntesis invisible: todo lo que está arriba y abajo se resuelve antes de dividir.

\[ \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \qquad \text{(no es } 6+\tfrac{4}{2}=8\text{)} \]

Del mismo modo, en \(\sqrt{9+16}\) primero se suma y luego se extrae la raíz: \(\sqrt{25}=5\).

¿Qué ocurre con multiplicación y división juntas?

Se resuelven estrictamente de izquierda a derecha:

\[ 24 \div 4 \times 2 = 6 \times 2 = 12 \qquad \text{(no } 24 \div 8 = 3\text{)} \]

¿Y con suma y resta juntas?

Igual: de izquierda a derecha.

\[ 10 - 4 + 3 = 6 + 3 = 9 \qquad \text{(no } 10 - 7 = 3\text{)} \]

3 Errores clásicos y cómo evitarlos

Los tropiezos más frecuentes en los exámenes

Error 1 · Confundir \(-3^2\) con \((-3)^2\) En \(-3^2\) la potencia afecta solo al \(3\), porque el signo menos no está dentro del paréntesis: \(-3^2 = -(3\cdot 3) = -9\).
En \((-3)^2\) el paréntesis incluye el signo: \((-3)(-3) = 9\).

Error 2 · Resolver sumas antes que productos En \(8 + 3 \times 5\), lo correcto es \(8 + 15 = 23\), no \(11 \times 5 = 55\).

Error 3 · Ignorar los signos negativos delante de un paréntesis Un signo menos delante de un paréntesis cambia todos los signos internos:
\[ -(4-9) = -4+9 = 5 \] No es \(-4-9 = -13\).

Error 4 · Olvidar resolver de adentro hacia afuera En \(5\times[2+(8-3)]\), primero \((8-3)=5\), luego \(2+5=7\) y por último \(5\times 7=35\).

Consejo práctico Antes de calcular, subraya con colores cada nivel de prioridad. Resuelve un nivel a la vez y reescribe la expresión completa en cada paso. La mayoría de los errores se deben a saltarse pasos, no a no saber matemática.

4 El conjunto de los números enteros

\(\mathbb{Z}\), el universo de los positivos, negativos y el cero

Los números enteros son el conjunto formado por los números naturales, el cero y los negativos de los naturales:

\[ \mathbb{Z} = \{\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\} \]

Se representan sobre una recta numérica, donde el cero separa a los positivos (a la derecha) de los negativos (a la izquierda). Cuanto más a la derecha está un número, mayor es.

El valor absoluto

El valor absoluto de un entero \(a\), escrito \(|a|\), es su distancia hasta el cero en la recta numérica. Como toda distancia, nunca es negativa:

\[ |7| = 7 \qquad |-7| = 7 \qquad |0| = 0 \]

El valor absoluto es la herramienta que usamos para comparar y ordenar enteros, y también para aplicar la regla de los signos en la suma.

El opuesto de un número

El opuesto (o inverso aditivo) de un entero \(a\) es \(-a\). Está a la misma distancia del cero, pero del otro lado. Así, el opuesto de \(5\) es \(-5\), y el opuesto de \(-5\) es \(5\). Observa que \(-(-5) = 5\).

5 Propiedades de los números enteros

Las reglas estructurales de la suma y el producto

Las operaciones entre números enteros cumplen una serie de propiedades que nos permiten reorganizar y simplificar cálculos sin alterar el resultado. Son la base del álgebra.

Propiedad	Expresión general	Ejemplo con enteros
Clausura	\(a+b \in \mathbb{Z}\), \(a\cdot b \in \mathbb{Z}\)	\((-6)+(-9) = -15 \in \mathbb{Z}\)
Conmutativa (suma y producto)	\(a+b = b+a\)  ·  \(a\cdot b = b\cdot a\)	\((-7)+12 = 12+(-7) = 5\)
Asociativa (suma y producto)	\((a+b)+c = a+(b+c)\)	\((3-8)+5 = 3+(-8+5) = 0\)
Distributiva	\(a(b+c) = ab+ac\)	\(6(4-9) = 24-54 = -30\)
Elemento neutro aditivo	\(a+0 = a\)	\((-15)+0 = -15\)
Elemento neutro multiplicativo	\(a\cdot 1 = a\)	\((-15)\cdot 1 = -15\)
Inverso aditivo	\(a+(-a) = 0\)	\(23+(-23) = 0\)
Factor cero (absorbente)	\(a\cdot 0 = 0\)	\((-48)\cdot 0 = 0\)

¡Atención! La resta y la división NO son conmutativas \(8-3 = 5\), pero \(3-8 = -5\). Del mismo modo, \(12\div 4 = 3\), pero \(4\div 12 = \tfrac{1}{3}\). Tampoco son asociativas. Tenlo muy presente al aplicar la jerarquía de operaciones.

La propiedad distributiva, en ambos sentidos

La distributiva se usa para abrir paréntesis y también, al revés, para sacar factor común:

\[ 7\cdot 12 + 7\cdot(-5) = 7\,(12-5) = 7\cdot 7 = 49 \]

Este segundo uso será fundamental cuando estudies factorización algebraica.

6 Reglas de signos

El corazón del cálculo con enteros

Para la suma y la resta

A

Signos iguales → se suman los valores absolutos y se conserva el signo común. Ejemplos: \((-4)+(-9) = -13\);   \(7+5 = 12\).

B

Signos distintos → se restan los valores absolutos y se coloca el signo del número con mayor valor absoluto. Ejemplos: \((-8)+15 = 7\);   \(6+(-10) = -4\).

C

Toda resta se convierte en suma del opuesto \(a-b = a+(-b)\). Ejemplo: \(5-(-3) = 5+3 = 8\).

Para la multiplicación y la división

Signo del primer factor	Signo del segundo factor	Signo del resultado	Ejemplo
\(+\)	\(+\)	\(+\)	\((6)(4) = 24\)
\(-\)	\(-\)	\(+\)	\((-6)(-4) = 24\)
\(+\)	\(-\)	\(-\)	\((6)(-4) = -24\)
\(-\)	\(+\)	\(-\)	\((-6)(4) = -24\)

Resumen en una línea Signos iguales → resultado positivo. Signos distintos → resultado negativo. Esto vale tanto para el producto como para el cociente.

7 10 ejercicios resueltos · Jerarquía de operaciones

Cada paso explicado con detalle

1\(5 + 3 \times 4\)

Paso 1La multiplicación tiene prioridad sobre la suma: \(3\times 4 = 12\).

Paso 2Ahora solo queda la suma: \(5+12\).

Resultado: \(17\)

2\(20 - 6 \div 2\)

Paso 1Primero la división: \(6\div 2 = 3\).

Paso 2Luego la resta: \(20-3\).

Resultado: \(17\)

3\(8 + 2 \times (5-3)^2\)

Paso 1Resolvemos el paréntesis: \(5-3 = 2\).

Paso 2La potencia: \(2^2 = 4\).

Paso 3La multiplicación: \(2\times 4 = 8\).

Paso 4La suma: \(8+8\).

Resultado: \(16\)

4\(-3^2 + 5\)

Paso 1El exponente afecta solo al \(3\), porque el signo menos está fuera de la potencia: \(-3^2 = -(3\cdot 3) = -9\).

Paso 2Sumamos: \(-9+5\).

Resultado: \(-4\)

5\((-3)^2 + 5\)

Paso 1Aquí el paréntesis incluye el signo: \((-3)^2 = (-3)(-3) = 9\).

Paso 2Sumamos: \(9+5\).

Resultado: \(14\)

Compara con el ejercicio 4: la posición del paréntesis cambia completamente el resultado.

6\(12 - 4 \times 2 + 18 \div 3\)

Paso 1Multiplicación y división (mismo nivel, de izquierda a derecha): \(4\times 2 = 8\) y \(18\div 3 = 6\).

Paso 2La expresión queda: \(12 - 8 + 6\).

Paso 3De izquierda a derecha: \(12-8 = 4\), luego \(4+6 = 10\).

Resultado: \(10\)

7\(2 \times [\,3 + 4 \times (5-2)\,]\)

Paso 1El paréntesis más interno: \(5-2 = 3\).

Paso 2Dentro del corchete, la multiplicación: \(4\times 3 = 12\).

Paso 3Dentro del corchete, la suma: \(3+12 = 15\).

Paso 4Finalmente el producto externo: \(2\times 15\).

Resultado: \(30\)

8\(\dfrac{18-6}{2} + 3^2\)

Paso 1La barra de fracción agrupa el numerador: \(18-6 = 12\).

Paso 2La fracción: \(12\div 2 = 6\).

Paso 3La potencia: \(3^2 = 9\).

Paso 4Sumamos: \(6+9\).

Resultado: \(15\)

9\(5 - 2 \times 3 + 4^2 \div 8\)

Paso 1La potencia: \(4^2 = 16\).

Paso 2Multiplicación y división, de izquierda a derecha: \(2\times 3 = 6\) y \(16\div 8 = 2\).

Paso 3La expresión queda: \(5 - 6 + 2\).

Paso 4De izquierda a derecha: \(5-6 = -1\), luego \(-1+2 = 1\).

Resultado: \(1\)

10\((-2)^3 \times (3-5)^2 + 10 \div (-5)\)

Paso 1Paréntesis: \((3-5) = -2\).

Paso 2Potencias: \((-2)^3 = -8\)  y  \((-2)^2 = 4\).

Paso 3Multiplicación y división: \((-8)\times 4 = -32\)  y  \(10\div(-5) = -2\).

Paso 4La expresión queda: \(-32 + (-2)\).

Resultado: \(-34\)

8 10 ejercicios resueltos · Propiedades de los enteros

Cada propiedad aplicada con números reales

1Conmutativa de la suma: \((-7) + 12\)

Paso 1Cambiamos el orden de los sumandos: \(12 + (-7)\).

Paso 2Signos distintos: restamos los valores absolutos \(12-7 = 5\) y conservamos el signo del mayor, es decir, positivo.

Resultado: \(5\) (idéntico en ambos órdenes)

2Conmutativa del producto: \((-4) \times 9\)

Paso 1Reordenamos: \(9 \times (-4)\).

Paso 2Signos distintos → resultado negativo: \(-(9\times 4)\).

Resultado: \(-36\) (igual en ambos órdenes)

3Asociativa de la suma: \((3+(-8))+5\)

Forma APrimero el paréntesis: \(3+(-8) = -5\); luego \(-5+5 = 0\).

Forma BAgrupamos distinto: \((-8)+5 = -3\); luego \(3+(-3) = 0\).

Resultado: \(0\) en ambas agrupaciones

4Asociativa del producto: \(\big((-2)\times 5\big)\times(-3)\)

Forma A\((-2)\times 5 = -10\); luego \((-10)\times(-3) = 30\).

Forma B\(5\times(-3) = -15\); luego \((-2)\times(-15) = 30\).

Resultado: \(30\) en ambas agrupaciones

5Distributiva: \(6 \times (4 + (-9))\)

Paso 1Distribuimos el \(6\): \(6\cdot 4 + 6\cdot(-9)\).

Paso 2Calculamos: \(24 + (-54)\).

ComprobaciónDirecto: \(4+(-9) = -5\), y \(6\times(-5) = -30\). Coincide.

Resultado: \(-30\)

6Elementos neutros: \((-15)+0\)  y  \((-15)\times 1\)

SumaEl \(0\) es el neutro aditivo: \((-15)+0 = -15\).

ProductoEl \(1\) es el neutro multiplicativo: \((-15)\times 1 = -15\).

Resultado: \(-15\) en ambos casos

7Inverso aditivo: \(23 + (-23)\)  y  \(-(-8)\)

Paso 1Todo entero tiene opuesto: \(23+(-23) = 0\).

Paso 2El opuesto del opuesto devuelve el número original: \(-(-8) = 8\).

Resultados: \(0\) y \(8\)

8Clausura: \((-6)+(-9)\)  y  \((-6)\times(-9)\)

SumaSignos iguales → sumamos y conservamos el signo: \(-(6+9) = -15\), que es entero.

ProductoSignos iguales → positivo: \(6\times 9 = 54\), que es entero.

Resultados: \(-15 \in \mathbb{Z}\)  y  \(54 \in \mathbb{Z}\)

9Regla de signos: \((-8)(-5)\), \(\dfrac{-72}{9}\) y \(\dfrac{-72}{-9}\)

Caso 1Dos negativos en un producto → positivo: \((-8)(-5) = 40\).

Caso 2Signos distintos en un cociente → negativo: \(-72\div 9 = -8\).

Caso 3Dos negativos en un cociente → positivo: \(-72\div(-9) = 8\).

Resultados: \(40\), \(-8\) y \(8\)

10Factor común: \(7\times 12 + 7\times(-5)\)

Paso 1El \(7\) se repite en ambos términos, así que lo extraemos: \(7\,(12-5)\).

Paso 2Resolvemos el paréntesis: \(12-5 = 7\).

Paso 3Multiplicamos: \(7\times 7\).

ComprobaciónDirecto: \(84 + (-35) = 49\). Coincide.

Resultado: \(49\)

9 10 ejercicios propuestos

Resuélvelos primero en tu cuaderno y luego verifica la solución

1\(7 + 4 \times (6-2) \div 8\)

Paréntesis: \(6-2 = 4\).

Multiplicación y división de izquierda a derecha: \(4\times 4 = 16\);  \(16\div 8 = 2\).

Suma final: \(7+2\).

Resultado: \(9\)

2\(-5^2 + (-3)^2\)

Ojo con el paréntesis: \(-5^2 = -(5\cdot 5) = -25\), mientras que \((-3)^2 = 9\).

Sumamos: \(-25+9\).

Resultado: \(-16\)

3\(15 - [\,3 + 2(4-6)\,]\)

Paréntesis interno: \(4-6 = -2\).

Producto dentro del corchete: \(2\times(-2) = -4\).

Suma dentro del corchete: \(3+(-4) = -1\).

Resta final, cambiando el signo: \(15-(-1) = 15+1\).

Resultado: \(16\)

4\((-6) \times [\,(-2)+9\,]\)

Corchete: \((-2)+9 = 7\) (signos distintos, \(9-2=7\), signo positivo).

Producto: \((-6)\times 7\), signos distintos → negativo.

Resultado: \(-42\)

5\(36 \div (-4) + (-3)(-5)\)

División: \(36\div(-4) = -9\) (signos distintos).

Producto: \((-3)(-5) = 15\) (signos iguales).

Suma: \(-9+15\).

Resultado: \(6\)

6\(8 \times (5-7)^3 \div 4\)

Paréntesis: \(5-7 = -2\).

Potencia: \((-2)^3 = -8\).

De izquierda a derecha: \(8\times(-8) = -64\);  \(-64\div 4 = -16\).

Resultado: \(-16\)

7\((-2)^4 - 3^3 + 12 \div (-6)\)

Potencias: \((-2)^4 = 16\) (exponente par → positivo) y \(3^3 = 27\).

División: \(12\div(-6) = -2\).

Expresión resultante: \(16 - 27 - 2\).

De izquierda a derecha: \(16-27 = -11\); luego \(-11-2\).

Resultado: \(-13\)

8\(45 - 5(3-8) + 20 \div 4\)

Paréntesis: \(3-8 = -5\).

Producto: \(5\times(-5) = -25\); con el signo menos delante queda \(-(-25) = +25\).

División: \(20\div 4 = 5\).

Expresión resultante: \(45 + 25 + 5\).

Resultado: \(75\)

9\(\dfrac{-24}{-6} + (-2)(7) - 9\)

Fracción: \(-24\div(-6) = 4\) (signos iguales).

Producto: \((-2)(7) = -14\).

Expresión resultante: \(4 - 14 - 9\).

De izquierda a derecha: \(4-14 = -10\); luego \(-10-9\).

Resultado: \(-19\)

10\(2\,[\,(-3)^2 - (4-7)\,] - 5(-2)\)

Potencia: \((-3)^2 = 9\).

Paréntesis: \(4-7 = -3\).

Dentro del corchete: \(9-(-3) = 9+3 = 12\).

Producto externo: \(2\times 12 = 24\).

Último término: \(-5(-2) = +10\).

Total: \(24+10\).

Resultado: \(34\)

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