MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

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Multiplicación de polinomios con dos variables | Blog de Matemáticas
Álgebra · Polinomios

Multiplicación de polinomios con dos variables

📅 15 de abril, 2025 ⏱️ 12 min de lectura ✏️ Nivel: Secundaria / Bachillerato

La multiplicación de polinomios con dos variables es una habilidad fundamental en álgebra. A diferencia de los polinomios de una sola variable, aquí trabajamos con expresiones que combinan x e y, lo que requiere atención especial a las reglas de los exponentes y a la organización de los términos.

En esta entrada aprenderás desde lo más básico (monomio por monomio) hasta casos más complejos (trinomio por trinomio), con ejemplos resueltos paso a paso, ejercicios para practicar y problemas reto para llevar tu comprensión al siguiente nivel.

1. Monomio por monomio

Para multiplicar dos monomios con dos variables, multiplicamos los coeficientes y sumamos los exponentes de las variables iguales. Si una variable no aparece en uno de los monomios, su exponente es 0 y se mantiene igual.

📐 Regla general Fórmula
(a·xm·yn) · (b·xp·yq) = (a·b) · xm+p · yn+q

Ejemplo resuelto

Multiplica: (3x²y) · (4xy³)

Paso 1: Multiplicamos los coeficientes 3 · 4 = 12 Paso 2: Sumamos los exponentes de x x² · x¹ = x²⁺¹ = x³ Paso 3: Sumamos los exponentes de y y¹ · y³ = y¹⁺³ = y⁴ Resultado: 12x³y⁴

Otro ejemplo: (-2xy²) · (5x³y)

(-2 · 5) = -10 x¹ · x³ = x⁴ y² · y¹ = y³ Resultado: -10x⁴y³

2. Monomio por binomio

Aplicamos la propiedad distributiva: multiplicamos el monomio por cada término del binomio y luego sumamos los resultados.

📐 Regla general Distributiva
A · (B + C) = A·B + A·C

Ejemplo resuelto

Multiplica: 2x²y · (3xy + 4x²)

Paso 1: Distribuimos el monomio 2x²y · 3xy + 2x²y · 4x² Paso 2: Resolvemos cada producto 2x²y · 3xy = (2·3)x²⁺¹y¹⁺¹ = 6x³y² 2x²y · 4x² = (2·4)x²⁺²y = 8x⁴y Resultado: 6x³y² + 8x⁴y

Otro ejemplo con signos: -3xy · (2x² - 5y³)

-3xy · 2x² = -6x³y -3xy · (-5y³) = +15xy⁴ Resultado: -6x³y + 15xy⁴

3. Binomio por binomio

Aquí usamos el método FOIL (First, Outer, Inner, Last) o simplemente la propiedad distributiva dos veces. Multiplicamos cada término del primer binomio por cada término del segundo.

📐 Regla general FOIL
(A + B) · (C + D) = A·C + A·D + B·C + B·D

Ejemplo resuelto

Multiplica: (2x + 3y) · (4x - y)

Paso 1: Primeros (First) 2x · 4x = 8x² Paso 2: Exteriores (Outer) 2x · (-y) = -2xy Paso 3: Interiores (Inner) 3y · 4x = 12xy Paso 4: Últimos (Last) 3y · (-y) = -3y² Paso 5: Sumamos y reducimos términos semejantes 8x² - 2xy + 12xy - 3y² = 8x² + 10xy - 3y²

Otro ejemplo: (x² + 2y) · (3x - y²)

x²·3x = 3x³ x²·(-y²) = -x²y² 2y·3x = 6xy 2y·(-y²) = -2y³ Resultado: 3x³ - x²y² + 6xy - 2y³

4. Binomio por trinomio

Extendemos la distributiva: multiplicamos cada término del binomio por los tres términos del trinomio y sumamos.

📐 Regla general Distributiva extendida
(A + B) · (C + D + E) = A·C + A·D + A·E + B·C + B·D + B·E

Ejemplo resuelto

Multiplica: (2x + y) · (x² - 3xy + 4y²)

Distribuimos 2x: 2x·x² = 2x³ 2x·(-3xy) = -6x²y 2x·4y² = 8xy² Distribuimos y: y·x² = x²y y·(-3xy) = -3xy² y·4y² = 4y³ Sumamos y reducimos términos semejantes: 2x³ + (-6x²y + x²y) + (8xy² - 3xy²) + 4y³ = 2x³ - 5x²y + 5xy² + 4y³

5. Trinomio por trinomio

Multiplicamos cada término del primer trinomio por cada término del segundo. Son 9 productos en total. Luego reducimos términos semejantes.

📐 Regla general 9 productos
(A + B + C) · (D + E + F) = A·D + A·E + A·F + B·D + B·E + B·F + C·D + C·E + C·F

Ejemplo resuelto

Multiplica: (x + 2y - 1) · (2x - y + 3)

Multiplicamos x por cada término del segundo trinomio: x·2x = 2x² x·(-y) = -xy x·3 = 3x Multiplicamos 2y por cada término: 2y·2x = 4xy 2y·(-y) = -2y² 2y·3 = 6y Multiplicamos -1 por cada término: -1·2x = -2x -1·(-y) = y -1·3 = -3 Sumamos todos los términos: 2x² - xy + 3x + 4xy - 2y² + 6y - 2x + y - 3 Reducimos términos semejantes: 2x² + (-xy + 4xy) + (3x - 2x) - 2y² + (6y + y) - 3 = 2x² + 3xy + x - 2y² + 7y - 3

📝 Ejercicios propuestos

Resuelve los siguientes productos. Haz clic en "Ver solución" para comprobar tu respuesta.

1 (3x²y)(5xy³)

Ver solución

Coeficientes: 3·5 = 15

x: x²·x¹ = x³

y: y¹·y³ = y⁴

Resultado: 15x³y⁴

2 -2xy²(4x² - 3y)

Ver solución

-2xy²·4x² = -8x³y²

-2xy²·(-3y) = +6xy³

Resultado: -8x³y² + 6xy³

3 (x + 4y)(2x - y)

Ver solución

x·2x = 2x²

x·(-y) = -xy

4y·2x = 8xy

4y·(-y) = -4y²

Reduciendo: 2x² + 7xy - 4y²

Resultado: 2x² + 7xy - 4y²

4 (3x - 2y)(x² + xy + y²)

Ver solución

3x·x² = 3x³

3x·xy = 3x²y

3x·y² = 3xy²

-2y·x² = -2x²y

-2y·xy = -2xy²

-2y·y² = -2y³

Reduciendo: 3x³ + (3x²y - 2x²y) + (3xy² - 2xy²) - 2y³

Resultado: 3x³ + x²y + xy² - 2y³

5 (x² + 2xy + y²)(x - y)

Ver solución

x²·x = x³

x²·(-y) = -x²y

2xy·x = 2x²y

2xy·(-y) = -2xy²

y²·x = xy²

y²·(-y) = -y³

Reduciendo: x³ + (-x²y + 2x²y) + (-2xy² + xy²) - y³

Resultado: x³ + x²y - xy² - y³

6 (2x - 3y + 1)(x + y - 2)

Ver solución

2x·x = 2x²; 2x·y = 2xy; 2x·(-2) = -4x

-3y·x = -3xy; -3y·y = -3y²; -3y·(-2) = 6y

1·x = x; 1·y = y; 1·(-2) = -2

Reduciendo: 2x² + (2xy - 3xy) - 4x - 3y² + (6y + y) + x - 2

= 2x² - xy - 3x - 3y² + 7y - 2

Resultado: 2x² - xy - 3x - 3y² + 7y - 2

🚀 Problemas reto

Reto 1: Coeficiente desconocido

Encuentra el valor de k para que el producto (2x + ky)(3x - 4y) tenga un término xy igual a 10xy.

Ver solución

Desarrollamos el producto:

(2x)(3x) = 6x²

(2x)(-4y) = -8xy

(ky)(3x) = 3kxy

(ky)(-4y) = -4ky²

El término xy es: -8xy + 3kxy = (3k - 8)xy

Igualamos a 10xy: 3k - 8 = 10 → 3k = 18 → k = 6

Resultado: k = 6

Reto 2: Área de un rectángulo

Un rectángulo tiene como base (3x + 2y) y como altura (2x - y). Expresa su área como un polinomio con dos variables.

Ver solución

Área = base · altura = (3x + 2y)(2x - y)

3x·2x = 6x²

3x·(-y) = -3xy

2y·2x = 4xy

2y·(-y) = -2y²

Reduciendo: 6x² + (-3xy + 4xy) - 2y²

Resultado: 6x² + xy - 2y²

Reto 3: Producto especial

Calcula el producto (x + y)(x - y)(x² + y²). ¿Qué patrón observas?

Ver solución

Primero multiplicamos (x + y)(x - y) = x² - y² (diferencia de cuadrados).

Luego multiplicamos por (x² + y²):

(x² - y²)(x² + y²) = x⁴ - y⁴ (otra diferencia de cuadrados).

Resultado: x⁴ - y⁴

Patrón: es una diferencia de cuadrados aplicada dos veces.

Conclusión

La multiplicación de polinomios con dos variables sigue las mismas reglas que con una variable, pero requiere más cuidado al organizar los términos y sumar exponentes. La clave está en:

  • Multiplicar coeficientes.
  • Sumar exponentes de la misma variable.
  • Aplicar la propiedad distributiva tantas veces como sea necesario.
  • Reducir términos semejantes al final.

Practica con los ejercicios propuestos y verifica tus respuestas. Si dominas estos casos, estarás listo para factorizar, dividir polinomios y resolver ecuaciones más complejas.

💡 Consejo: Usa una cuadrícula o una tabla para organizar los productos cuando trabajes con trinomios. Esto reduce errores y te ayuda a visualizar los términos semejantes.

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