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Trigonometría Real: Pitágoras, Seno, Coseno y Tangente | 10+10 Ejercicios con MathJax

📐 Triángulo Rectángulo: Pitágoras, Seno, Coseno y Tangente

🔺 Teoría visual + 10 ejercicios resueltos + 10 ejercicios propuestos | Notación matemática real con MathJax

🔷 Fundamentos

✅ Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, con catetos \(a\) y \(b\), e hipotenusa \(c\):

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Cateto opuesto (a) Hipotenusa (c) Cateto adyacente (b) θ

📐 Definiciones de razones trigonométricas (ángulo agudo \( \theta \))

\[ \sin \theta = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \] \[ \cos \theta = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \] \[ \tan \theta = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \]
💡 Regla nemotécnica SOH CAH TOA: \[ \sin = \frac{\text{Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}, \quad \cos = \frac{\text{Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}, \quad \tan = \frac{\text{Opuesto}}{\text{Adyacente}} \]

📌 10 Ejercicios resueltos (paso a paso)

🔹 1. Pitágoras + razones

Catetos: \(6\) cm y \(8\) cm. Hallar hipotenusa y las tres razones del ángulo opuesto al cateto de \(6\) cm.

📐 Solución: \[ c = \sqrt{6^2+8^2}= \sqrt{36+64}=10 \text{ cm} \] \[ \sin\theta = \frac{6}{10}=0.6,\quad \cos\theta=\frac{8}{10}=0.8,\quad \tan\theta=\frac{6}{8}=0.75 \]

🔹 2. Dada la tangente hallar lados

\(\tan\alpha = 2\) y el cateto adyacente mide \(5\) cm. Hallar el cateto opuesto y la hipotenusa.

📐 Solución: \[ \tan\alpha = \frac{\text{opuesto}}{5}=2 \Rightarrow \text{opuesto}=10 \text{ cm} \] \[ \text{hipotenusa} = \sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\text{ cm} \]

🔹 3. Con hipotenusa y un cateto

Hipotenusa = \(13\) cm, cateto = \(5\) cm. Hallar el otro cateto y las razones del ángulo opuesto al cateto de 5 cm.

📐 Solución: \[ b = \sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12 \text{ cm} \] \[ \sin\theta = \frac{5}{13},\quad \cos\theta = \frac{12}{13},\quad \tan\theta = \frac{5}{12} \]

🔹 4. Problema de sombra

Un árbol proyecta sombra de \(12\) m cuando el ángulo de elevación del sol es \(30^\circ\). Hallar la altura.

📐 Solución: \[ \tan 30^\circ = \frac{\text{altura}}{12} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{12} \Rightarrow h = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ m} \]

🔹 5. Escalera contra la pared

Escalera de \(10\) m, base a \(6\) m de la pared. ¿Altura alcanzada y razones del ángulo con el suelo?

📐 Solución: \[ \text{altura} = \sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\text{ m} \] \[ \sin\theta = \frac{8}{10}=0.8,\; \cos\theta=\frac{6}{10}=0.6,\; \tan\theta=\frac{8}{6}=1.333 \]

🔹 6. Triángulo 5-12-13

Catetos \(5\) y \(12\) cm. Hallar las tres razones del ángulo mayor (opuesto al cateto de 12).

📐 Solución: Hipotenusa \(13\) cm. \[ \sin = \frac{12}{13},\; \cos = \frac{5}{13},\; \tan = \frac{12}{5} \]

🔹 7. Dado seno hallar catetos

\(\sin\phi = 0.28\) e hipotenusa = \(50\) cm. Hallar los catetos.

📐 Solución: \[ \text{opuesto} = 50\cdot 0.28 = 14\text{ cm},\quad \text{adyacente} = \sqrt{50^2-14^2}=\sqrt{2500-196}=\sqrt{2304}=48\text{ cm} \]

🔹 8. Ángulo de depresión

Desde un faro de \(20\) m, el ángulo de depresión a un bote es \(45^\circ\). Distancia horizontal?

📐 Solución: \[ \tan 45^\circ = \frac{20}{d} \Rightarrow 1 = \frac{20}{d} \Rightarrow d = 20 \text{ m} \]

🔹 9. Cálculo de tangente exacta

Triángulo rectángulo con cateto adyacente = \(24\) cm e hipotenusa = \(26\) cm. Hallar opuesto y \(\tan\theta\).

📐 Solución: \[ \text{opuesto} = \sqrt{26^2-24^2}=\sqrt{676-576}=10\text{ cm} \] \[ \tan\theta = \frac{10}{24}=\frac{5}{12} \]

🔹 10. Razones a partir de catetos

Catetos \(9\) y \(12\) cm. Hallar todas las razones del ángulo opuesto al cateto de \(9\) cm.

📐 Solución: Hipotenusa \(15\) cm. \[ \sin = \frac{9}{15}=0.6,\; \cos = \frac{12}{15}=0.8,\; \tan = \frac{9}{12}=0.75 \]

📝 10 Ejercicios propuestos (¡comprueba tu solución!)

💡 Interactivo + MathJax Haz clic en "Mostrar solución" para ver el desarrollo detallado.

📐 1. Catetos: \(7\) cm y \(24\) cm. Calcula la hipotenusa y el valor de \(\sin\theta\) para el ángulo opuesto al cateto de 7 cm.
\[c = \sqrt{7^2+24^2}= \sqrt{49+576}= \sqrt{625}=25\] \[\sin\theta = \frac{7}{25}=0.28\]
📐 2. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide \(29\) cm y un cateto \(20\) cm. Halla el otro cateto y \(\cos\) del ángulo adyacente a dicho cateto.
\[b = \sqrt{29^2-20^2}= \sqrt{841-400}= \sqrt{441}=21\]\[\cos = \frac{20}{29}\]
📐 3. \(\tan\beta = \frac{3}{4}\). Si el cateto adyacente mide \(8\) cm, encuentra el opuesto y la hipotenusa.
\[\text{opuesto}= \frac{3}{4}\cdot 8 = 6\] \[\text{hip}= \sqrt{8^2+6^2}=10\]
📐 4. Un avión vuela a \(300\) m de altura y el ángulo de elevación desde un punto en tierra es \(30^\circ\). Distancia horizontal del punto al avión.
\[\tan 30^\circ = \frac{300}{d} \Rightarrow d = \frac{300}{\sqrt{3}} = 100\sqrt{3} \approx 173.2 \text{ m}\]
📐 5. En un triángulo rectángulo, los catetos son \(8\) cm y \(15\) cm. Halla \(\sin\), \(\cos\) y \(\tan\) del ángulo más pequeño.
Hipotenusa \(17\) cm. Ángulo opuesto a 8: \(\sin=8/17,\cos=15/17,\tan=8/15\).
📐 6. Desde un punto a \(40\) m de la base de un edificio, el ángulo de elevación a la cima es \(60^\circ\). Altura del edificio.
\[\tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{h}{40} \Rightarrow h = 40\sqrt{3} \approx 69.28 \text{ m}\]
📐 7. \(\sin\alpha = 0.6\) y la hipotenusa mide \(15\) cm. Halla los catetos.
\[\text{opuesto}=15\cdot 0.6=9,\quad \text{adyacente}=\sqrt{15^2-9^2}=12\]
📐 8. Una rampa de \(5\) m forma un ángulo de \(20^\circ\) con el suelo. Altura que alcanza (usa \(\sin 20^\circ \approx 0.342\)).
\[\sin 20^\circ = \frac{h}{5} \Rightarrow h = 5\cdot 0.342 = 1.71 \text{ m}\]
📐 9. En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto a \( \theta \) mide \(9\) y la hipotenusa \(41\). Halla \(\cos\theta\) y \(\tan\theta\).
\[\text{adyacente} = \sqrt{41^2-9^2}= \sqrt{1681-81}=40\] \[\cos\theta = 40/41,\quad \tan\theta = 9/40\]
📐 10. Una escalera de \(6\) m está apoyada contra una pared a \(3.5\) m del suelo. Distancia de la base a la pared.
\[d = \sqrt{6^2 - 3.5^2}= \sqrt{36-12.25}= \sqrt{23.75}\approx 4.87 \text{ m}\]

📌 Consejos prácticos para resolver

  • ✔️ Identifica la hipotenusa (frente al ángulo recto, lado más grande).
  • ✔️ Usa Pitágoras: \(a^2+b^2=c^2\) si conoces dos lados.
  • ✔️ Aplica \(\sin\), \(\cos\) o \(\tan\) cuando tengas un ángulo y necesites un lado.
  • ✔️ Recuerda valores exactos para ángulos notables: \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\).

Todos los problemas se basan únicamente en triángulos rectángulos y las tres razones básicas.

📐 Material con MathJax: Teorema de Pitágoras, seno, coseno y tangente.
🧪 10 ejercicios resueltos + 10 propuestos con soluciones detalladas.

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