Progresiones Aritméticas y Geométricas
📐 Progresiones aritméticas y geométricas
Progresión aritmética
Conceptos básicos y ejercicios modelo.
Progresión geométrica
Fórmulas, ejemplos y trucos.
Aritmética (PA)
Definición: cada término se obtiene sumando una constante \(d\) (diferencia).
\[ a_n = a_1 + (n-1)\cdot d \]
Suma de \(n\) términos: \(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}\)
Forma alternativa: \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\)
Interpolación: medios aritméticos \(\rightarrow\) \(d = \frac{b-a}{k+1}\)
Geométrica (PG)
Definición: cada término se obtiene multiplicando por una constante \(r\) (razón).
\[ a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1} \]
Suma finita (\(r \neq 1\)): \(S_n = a_1 \cdot \dfrac{r^n - 1}{r - 1}\)
Suma infinita (\(|r|<1\)): \(S_{\infty} = \dfrac{a_1}{1-r}\)
Producto de \(n\) términos: \(P_n = (a_1 \cdot a_n)^{n/2}\)
10 ejercicios resueltos · PA
#1
Hallar el término 10 de: \(3, 7, 11, 15,\dots\)
\(a_1=3,\ d=4\) → \(a_{10}=3+9\cdot4 = 39\)
#2
Suma primeros 15 términos de: \(2, 5, 8, \dots\)
\(a_1=2,\ d=3,\ a_{15}=2+14\cdot3=44\) → \(S_{15}=\frac{(2+44)\cdot15}{2}=345\)
#3
Primer término si \(a_8=25\) y \(d=3\)
\(a_8=a_1+7d \Rightarrow 25=a_1+21 \Rightarrow a_1=4\)
#4
Número de términos en: \(4,7,10,\dots,58\)
\(4+(n-1)\cdot3=58 \Rightarrow n-1=18 \Rightarrow n=19\)
#5
Diferencia si \(a_1=6\) y \(a_{12}=50\)
\(6+11d=50 \Rightarrow 11d=44 \Rightarrow d=4\)
#6
Término general de: \(10,7,4,1,\dots\)
\(a_1=10,\ d=-3\) → \(a_n = 13-3n\)
#7
\(S_{20}=500,\ a_1=5\). Hallar \(d\)
\(\frac{2\cdot5+19d}{2}\cdot20=500 \Rightarrow (10+19d)\cdot10=500 \Rightarrow 190d=400 \Rightarrow d=\frac{40}{19}\)
#8
Interpola 4 medios aritméticos entre 2 y 22
\(2, \_, \_, \_, \_, 22\) → \(2+5d=22 \Rightarrow d=4\) → medios: \(6,10,14,18\)
#9
\(a_3=12,\ a_7=28\). Halla \(a_1\) y \(d\)
\(a_1+2d=12,\ a_1+6d=28\) → restando \(4d=16 \Rightarrow d=4,\ a_1=4\)
#10
Suma de múltiplos de 7 menores que 100
\(7,14,\dots,98\) → \(a_1=7,\ a_n=98,\ d=7\) → \(n=\frac{98-7}{7}+1=14\) → \(S=\frac{(7+98)\cdot14}{2}=735\)
10 ejercicios resueltos · PG
#1
Término 6 de PG: \(2,6,18,54,\dots\)
\(a_1=2,\ r=3\) → \(a_6=2\cdot3^{5}=486\)
#2
Suma primeros 8 términos de \(1,2,4,8,\dots\)
\(a_1=1,\ r=2\) → \(S_8=\frac{2^8-1}{2-1}=255\)
#3
\(a_5=48,\ r=2\). Halla \(a_1\)
\(a_1\cdot2^{4}=48 \Rightarrow a_1=48/16=3\)
#4
Número de términos: \(3,6,12,\dots,384\)
\(3\cdot2^{n-1}=384 \Rightarrow 2^{n-1}=128 \Rightarrow n-1=7 \Rightarrow n=8\)
#5
Razón si \(a_1=5\) y \(a_7=320\)
\(5\cdot r^{6}=320 \Rightarrow r^{6}=64 \Rightarrow r=2\) (positiva)
#6
Término general de \(81,27,9,3,\dots\)
\(a_1=81,\ r=\frac13\) → \(a_n=81\cdot\left(\frac13\right)^{n-1}=3^{5-n}\)
#7
\(S_{\infty}=10,\ a_1=5\). Hallar \(r\ (|r|<1)\)
\(\frac{5}{1-r}=10 \Rightarrow 1-r=0.5 \Rightarrow r=0.5\)
#8
Interpola 3 medios geométricos entre 2 y 162
\(2, \_, \_, \_, 162\) → \(2\cdot r^{4}=162 \Rightarrow r^{4}=81 \Rightarrow r=3\) → medios: \(6,18,54\)
#9
\(a_2=6,\ a_5=162\). Halla \(a_1\) y \(r\)
\(a_1 r=6,\ a_1 r^4=162\) → \(r^3=27 \Rightarrow r=3,\ a_1=2\)
#10
Producto primeros 6 términos de \(1,3,9,\dots\)
\(a_1=1,\ r=3\) → \(P_6 = 1^{6}\cdot 3^{(6\cdot5)/2}=3^{15}=14\,348\,907\)
10 ejercicios propuestos · PA
#1
Calcula el término 15 de la PA: \(5, 9, 13, \dots\)
#2
Halla la suma de los primeros 20 términos de \(7, 10, 13, \dots\)
#3
El término 12 de una PA es 30 y la diferencia es 2. Halla el primer término.
#4
¿Cuántos términos tiene la PA: \(2, 5, 8, \dots, 74\)?
#5
Halla la diferencia si \(a_1= -3\) y \(a_9 = 21\).
#6
Obtén el término general de la PA: \(100, 90, 80, \dots\)
#7
La suma de 15 términos es 450 y el primero es 5. Encuentra la diferencia.
#8
Interpola 5 medios aritméticos entre 3 y 39.
#9
El cuarto término es 14 y el noveno es 34. Halla \(a_1\) y \(d\).
#10
Suma de todos los números pares de dos cifras.
10 ejercicios propuestos · PG
#1
Término 8 de la PG: \(4, 12, 36, \dots\)
#2
Suma de los primeros 10 términos de \(3, 6, 12, \dots\)
#3
\(a_7 = 192\) y \(r = 2\). Calcula \(a_1\).
#4
Número de términos en: \(5, 10, 20, \dots, 640\).
#5
Halla la razón si \(a_1=2\) y \(a_6=64\).
#6
Término general de: \(200, 100, 50, \dots\)
#7
Suma infinita de: \(9, 3, 1, \frac13, \dots\)
#8
Interpola 4 medios geométricos entre 1 y 32.
#9
\(a_3= 24\) y \(a_6= 192\). Halla \(a_1\) y \(r\).
#10
Producto de los primeros 5 términos de \(2, 4, 8, \dots\)
Elaborado por: WIFI EDUCATION
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