Progresiones Aritméticas y Geométricas

Progresiones Aritméticas y Geométricas

Guía Maestra para Telemática y Administración

1. Marco Teórico

Las progresiones son sucesiones numéricas con un patrón definido. Entenderlas permite predecir comportamientos futuros en sistemas técnicos y financieros.

Aritméticas (PA): Suma constante

Cada término es el anterior más una diferencia \(d\).

  • Término n-ésimo: \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
  • Suma de n términos: \(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)

Geométricas (PG): Multiplicación constante

Cada término es el anterior por una razón \(r\).

  • Término n-ésimo: \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\)
  • Suma de n términos: \(S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}\)

2. Mención: Telemática

En el área de redes, las progresiones se usan para calcular direccionamiento IP, retardos de señal y crecimiento de tráfico de datos.

Ejercicios Resueltos (Telemática)

Resuelto 1 - PA
Enunciado: Una red tiene su primer host en la IP .10. Si los hosts siguientes se asignan con un salto de 4 unidades, ¿cuál es el host número 50?
Solución: \(a_1 = 10, d = 4, n = 50\).
\(a_{50} = 10 + (50-1)4 = 10 + 196 = 206\). La IP termina en .206.
Resuelto 2 - PG
Enunciado: Un servidor experimenta un ataque DDoS. El primer segundo recibe 100 peticiones, y estas se triplican cada segundo. ¿Cuántas recibe al 6to segundo?
Solución: \(a_1 = 100, r = 3, n = 6\).
\(a_6 = 100 \cdot 3^{6-1} = 100 \cdot 243 = 24,300\) peticiones.

3. Latencia (PA): Un paquete tarda 2ms en el primer salto y aumenta 0.5ms por cada router adicional. ¿Retardo en el salto 15?
R: \(2 + 14(0.5) = 9\) ms.

4. Almacenamiento (PG): Un sistema de backup inicia con 2TB y aumenta un 50% su capacidad cada año. ¿Capacidad al año 4?
R: \(2 \cdot (1.5)^3 = 6.75\) TB.

5. Fibra Óptica (PG): Una señal de 200mW pierde el 5% de potencia por km. ¿Potencia al km 10?
R: \(200 \cdot (0.95)^9 \approx 126\) mW.

6. Subredes (PG): Si una red se divide en 2 subredes, y cada una en otras 2 sucesivamente, ¿cuántas habrá en el nivel 8?
R: \(2^8 = 256\) subredes.

7. Despliegue de Antenas (PA): Se colocan antenas cada 500m. Si la primera está en el km 10, ¿dónde está la antena 12?
R: \(10 + (11 \cdot 0.5) = 15.5\) km.

8. Tráfico de Datos (PA): Una empresa consume 100GB en enero y sube 20GB por mes. ¿Consumo total en un año (\(S_{12}\))?
R: \(a_{12}=320; S_{12} = \frac{12(100+320)}{2} = 2,520\) GB.

9. Algoritmo Backoff (PG): El tiempo de reintento inicia en 1ms y se duplica en cada colisión. ¿Tiempo en el intento 10?
R: \(1 \cdot 2^9 = 512\) ms.

10. Errores de Trama (PG): Un filtro reduce los errores a la mitad cada pasada. Si hay 1024 errores, ¿cuántos quedan tras 10 pasadas?
R: \(1024 \cdot (0.5)^{10} = 1\) error.

Ejercicios Propuestos (Telemática)

  1. Un switch gestiona 50 VLANS. Si cada mes se agregan 3, ¿cuántas tendrá en 2 años?
  2. La potencia de una señal WiFi cae a la cuarta parte cada 10 metros. Si inicia en 100mW, ¿qué potencia tiene a los 40 metros?
  3. En un sistema RAID, la velocidad de escritura aumenta 15MB/s por cada disco añadido. Si con 1 disco es de 100MB/s, ¿cuál es con 8 discos?
  4. Un virus informático infecta a 2 computadoras el primer minuto, a 4 el segundo, a 8 el tercero... ¿Cuánto tiempo tarda en infectar a 1024 equipos?
  5. Se diseña un cableado estructurado donde cada piso tiene 4 nodos más que el anterior. Si el piso 1 tiene 12 nodos, ¿cuántos nodos hay en total en un edificio de 10 pisos?
  6. Un enlace satelital tiene una degradación de ruido que sigue una PA: 0.1dB en el primer minuto, 0.12dB en el segundo, etc. ¿Ruido al minuto 30?
  7. El buffer de un router crece un 10% cada vez que se llena. Si inicia en 512KB, ¿cuánto medirá tras 5 expansiones?
  8. Una red de sensores envía 1 reporte al día, y cada día duplica su frecuencia. ¿Cuántos reportes envía el día 7?
  9. Se instalan repetidores de señal cada 1.5km. ¿A qué distancia se encuentra el repetidor número 20?
  10. Un protocolo de compresión reduce el archivo original (100MB) un 20% en cada iteración. ¿Qué tamaño tiene tras 3 iteraciones?

3. Mención: Administración

En administración, las progresiones son vitales para proyecciones de ventas, depreciación de activos y cálculos de interés.

Ejercicios Resueltos (Administración)

Resuelto 1 - PA
Enunciado: Un activo de $5,000 se deprecia $400 anualmente. ¿Cuál es su valor tras 6 años?
Solución: \(a_1 = 5000, d = -400, n = 7\) (incluyendo el año 0).
\(a_7 = 5000 + (6)(-400) = 5000 - 2400 = \$2,600\).
Resuelto 2 - PG
Enunciado: Una inversión de $1,000 rinde el 10% anual compuesto. ¿Cuánto dinero hay al final del año 5?
Solución: \(a_1 = 1000, r = 1.10, n = 6\).
\(a_6 = 1000 \cdot (1.10)^5 = \$1,610.51\).

3. Salarios (PA): Un empleado gana $800 y recibe un aumento de $50 cada año. ¿Sueldo al año 10?
R: \(800 + 9(50) = \$1,250\).

4. Ventas (PG): Una tienda vende $2,000 la primera semana y sus ventas crecen 20% semanal. ¿Venta en la semana 4?
R: \(2000 \cdot (1.20)^3 = \$3,456\).

5. Ahorro (PA): Se ahorran $10 el primer día, $12 el segundo, $14 el tercero... ¿Total en 30 días?
R: \(a_{30}=68, S_{30} = \frac{30(10+68)}{2} = \$1,170\).

6. Producción (PG): Una fábrica produce 500 unidades y aumenta un 100% (duplica) cada mes. ¿Producción el mes 5?
R: \(500 \cdot 2^4 = 8,000\) unidades.

7. Deuda (PA): Una deuda se paga en cuotas que disminuyen $10 cada mes. Si la primera es de $200, ¿cuál es la cuota 12?
R: \(200 + 11(-10) = \$90\).

8. Inflación (PG): Un producto de $50 sube 5% anual. ¿Precio en 4 años?
R: \(50 \cdot (1.05)^4 = \$60.77\).

9. Clientes (PA): Un gimnasio capta 15 clientes nuevos por mes de forma constante. Si inició con 40, ¿cuántos tiene al mes 18?
R: \(40 + 17(15) = 295\) clientes.

10. Dividendos (PG): Una acción reparte $1 de dividendo y este crece 8% anual. ¿Dividendo en el año 10?
R: \(1 \cdot (1.08)^9 = \$1.99\).

Ejercicios Propuestos (Administración)

  1. Un plan de pensiones requiere depositar $100 el primer mes, aumentando $10 cada mes. ¿Cuánto se habrá aportado tras 2 años?
  2. El valor de una marca aumenta un 15% cada año. Si hoy vale $1 millón, ¿cuánto valdrá en 5 años?
  3. Una impresora de oficina de $1,200 se deprecia hasta valer $0 en 5 años. ¿Cuál es su depreciación mensual fija (PA)?
  4. Un vendedor recibe una comisión de $500 por su primera venta y esta aumenta $25 por cada venta sucesiva. ¿Cuánto gana en su venta número 20?
  5. Si una inversión se reduce a la mitad cada año por malos manejos, y empieza en $80,000, ¿cuánto queda al 6to año?
  6. Se reparten utilidades de $10,000 entre 5 empleados de modo que cada uno reciba $200 más que el anterior. ¿Cuánto recibe el que menos gana?
  7. La rotación de inventario mejora un 5% cada trimestre. Si hoy es de 4 veces al año, ¿cuál será en el trimestre 8?
  8. Un préstamo de $5,000 no cobra intereses el primer mes, pero aumenta $50 de cargo fijo cada mes siguiente. ¿Cuánto se paga de recargo el mes 12?
  9. El tráfico de clientes en una web comercial es de 1,000 visitas. Si crece un 10% mensual, ¿cuántas visitas tendrá en un año?
  10. Un presupuesto anual de $120,000 debe reducirse en $8,000 cada año. ¿Cuál será el presupuesto en el año 6?

Esperamos que este material sea de gran utilidad para tus estudios. ¡Las matemáticas están en todo lo que hacemos!

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