Cálculo de Determinantes

📚 Guía Maestra: Determinantes 2x2 y 3x3

Teoría Completa, Ejercicios Resueltos y Calculadora Paso a Paso

📖 Marco Teórico Extendido

El determinante es un número especial que se puede calcular a partir de una matriz cuadrada. Nos proporciona información crucial sobre la matriz, como si tiene inversa (si el determinante es diferente de cero) o cuál es el factor de escala de una transformación lineal geométrica.

1. Determinante de Segundo Orden (2x2)

Para una matriz $2 \times 2$, multiplicamos los elementos de la diagonal principal y restamos el producto de la diagonal secundaria:

$det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = (a_{11})(a_{22}) - (a_{21})(a_{12})$

2. Determinante de Tercer Orden (3x3)

Para resolver matrices $3 \times 3$ existen dos métodos principales altamente efectivos:

A. Expansión por Cofactores (Regla de Laplace)

Se elige una fila o columna (usualmente la primera fila). Cada elemento multiplica a su determinante menor (la matriz $2 \times 2$ resultante al eliminar la fila y columna del elemento). Se alternan los signos $(+ , - , +)$:

$det(A) = (a_{11}) \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - (a_{12}) \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + (a_{13}) \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

B. Regla de Sarrus (Alternativa Visual)

Consiste en copiar las dos primeras columnas a la derecha de la matriz. Luego, se suman los productos de las tres diagonales principales y se restan los productos de las tres diagonales secundarias.

💡 Propiedades Clave de los Determinantes

  • Si una matriz tiene una fila o columna de ceros, su determinante es $0$.
  • Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, su determinante es $0$.
  • El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta: $det(A) = det(A^T)$.

✅ 10 Ejercicios Resueltos Paso a Paso

I. Cálculo de Determinantes 2x2

1. $A = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \implies det(A) = (7)(5) - (2)(3) = 35 - 6 = 29 \quad \therefore$
2. $B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 6 \end{pmatrix} \implies det(B) = (4)(6) - (-1)(-2) = 24 - 2 = 22 \quad \therefore$
3. $C = \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \implies det(C) = (-3)(2) - (4)(8) = -6 - 32 = -38 \quad \therefore$
4. $D = \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} \implies det(D) = (0)(-4) - (5)(9) = 0 - 45 = -45 \quad \therefore$
5. $E = \begin{pmatrix} -5 & -2 \\ -7 & -3 \end{pmatrix} \implies det(E) = (-5)(-3) - (-7)(-2) = 15 - 14 = 1 \quad \therefore$

II. Cálculo de Determinantes 3x3 (Por Menores)

6. $F = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

$det(F) = (1)[(4)(6) - (0)(5)] - (2)[(0)(6) - (1)(5)] + (3)[(0)(0) - (1)(4)]$
$det(F) = (1)[24] - (2)[-5] + (3)[-4] = 24 + 10 - 12 = 22 \quad \therefore$
7. $G = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

$det(G) = (3)[(1)(2) - (3)(1)] - (-1)[(2)(2) - (1)(1)] + (2)[(2)(3) - (1)(1)]$
$det(G) = (3)[-1] + (1)[3] + (2)[5] = -3 + 3 + 10 = 10 \quad \therefore$
8. $H = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & -3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

$det(H) = (2)[(2)(-2) - (1)(-3)] - (5)[(1)(-2) - (4)(-3)] + (0)[\text{Anulado}]$
$det(H) = (2)[-1] - (5)[10] + 0 = -2 - 50 = -52 \quad \therefore$
9. $I = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ -7 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

$det(I) = (-1)[(2)(6) - (5)(-4)] - (2)[(3)(6) - (-7)(-4)] + (5)[(3)(5) - (-7)(2)]$
$det(I) = (-1)[32] - (2)[-10] + (5)[29] = -32 + 20 + 145 = 133 \quad \therefore$
10. $J = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$det(J) = (5)[(4)(1) - (1)(2)] - (0)[\dots] + (0)[\dots]$
$det(J) = (5)[2] - 0 + 0 = 10 \quad \therefore$

🧮 Tu Calculadora de Comprobación

Usa esta herramienta para verificar tus resultados paso a paso.

✍️ Ejercicios Propuestos para Practicar

Aplica la teoría, resuélvelos en tu cuaderno y verifica tu respuesta con la calculadora de arriba.

Nivel 2x2

1. $\begin{vmatrix} 10 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}$

2. $\begin{vmatrix} -3 & -5 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$

3. $\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 1 & 8 \end{vmatrix}$

4. $\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ -2 & -3 \end{vmatrix}$

5. $\begin{vmatrix} 9 & 9 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$

Nivel 3x3

6. $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

7. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$

8. $\begin{vmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & -1 \\ 3 & 5 & 6 \end{vmatrix}$

9. $\begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

10. $\begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \end{vmatrix}$

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