Propiedades de la potenciación

Un polinomio es una suma de monomios, y cada monomio tiene un coeficiente y una parte literal con exponentes. Para operar con ellos —multiplicar, dividir, elevar a una potencia— necesitamos las propiedades de la potenciación. Estas propiedades nos permiten combinar exponentes de forma ordenada y evitar errores frecuentes.

En esta entrada repasamos las propiedades esenciales, las aplicamos a monomios y polinomios, resolvemos ejemplos paso a paso y proponemos ejercicios con solución interactiva. Al final encontrarás un video explicativo.

Recordatorio: las propiedades de la potenciación

Para cualquier base $a$ y exponentes $m, n$ (con las restricciones habituales de división y exponente cero), se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad	Fórmula	Ejemplo numérico
Producto de potencias de igual base	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$x^3 \cdot x^4 = x^7$
Cociente de potencias de igual base	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\dfrac{y^5}{y^2} = y^3$
Potencia de una potencia	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(z^2)^3 = z^6$
Potencia de un producto	$(ab)^n = a^n b^n$	$(2x)^3 = 8x^3$
Potencia de un cociente	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$	$\left(\dfrac{x}{3}\right)^2 = \dfrac{x^2}{9}$
Exponente cero	$a^0 = 1$ $(a \neq 0)$	$7^0 = 1$
Exponente negativo	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$	$x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$

Ojo: la potenciación no se distribuye sobre la suma: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$. Para desarrollar potencias de binomios y polinomios necesitamos los productos notables o el binomio de Newton.

Aplicación a monomios

Un monomio es el producto de un coeficiente y una o varias variables con exponentes naturales. Para elevar un monomio a una potencia:

Se eleva el coeficiente a dicha potencia.
Se multiplica el exponente de cada variable por el exponente de la potencia.

$(k \cdot x^a y^b)^n = k^n \cdot x^{a \cdot n} \cdot y^{b \cdot n}$

Ejemplo 1: elevar un monomio

Desarrollar $(3x^2y^3)^2$.

Elevamos el coeficiente: $3^2 = 9$.
Multiplicamos el exponente de $x$: $2 \cdot 2 = 4 \Rightarrow x^4$.
Multiplicamos el exponente de $y$: $3 \cdot 2 = 6 \Rightarrow y^6$.
Resultado: $9x^4y^6$.

Ejemplo 2: monomio con exponente negativo

Simplificar $(2x^{-3}y^2)^{-2}$.

Aplicamos potencia de un producto: $2^{-2} \cdot (x^{-3})^{-2} \cdot (y^2)^{-2}$.
$2^{-2} = \dfrac{1}{4}$.
$(x^{-3})^{-2} = x^{6}$ (multiplicamos exponentes).
$(y^2)^{-2} = y^{-4} = \dfrac{1}{y^4}$.
Resultado: $\dfrac{x^6}{4y^4}$.

Aplicación a polinomios: productos notables

Un polinomio es una suma de monomios. Elevar un polinomio a una potencia significa multiplicarlo por sí mismo tantas veces como indique el exponente. Para los casos más comunes usamos los productos notables, que son identidades derivadas de las propiedades de la potenciación.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Para polinomios con más de dos términos existe la fórmula general:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Ejemplo 3: binomio al cuadrado

Desarrollar $(2x + 3)^2$.

Identificamos $a = 2x$ y $b = 3$.
Cuadrado del primero: $(2x)^2 = 4x^2$.
Doble producto: $2 \cdot (2x) \cdot 3 = 12x$.
Cuadrado del segundo: $3^2 = 9$.
Resultado: $4x^2 + 12x + 9$.

Ejemplo 4: binomio al cubo con resta

Desarrollar $(x^2 - 5)^3$.

$a = x^2$, $b = 5$.
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
$a^3 = (x^2)^3 = x^6$.
$-3a^2b = -3(x^2)^2 \cdot 5 = -15x^4$.
$+3ab^2 = 3(x^2)(5)^2 = 75x^2$.
$-b^3 = -125$.
Resultado: $x^6 - 15x^4 + 75x^2 - 125$.

Ejemplo 5: trinomio al cuadrado

Desarrollar $(x + y + z)^2$.

Aplicamos $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.
$= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$.

Ejemplo 6: simplificar usando cociente de potencias

Simplificar $\dfrac{(2x^2y)^3}{(4xy^2)^2}$.

Numerador: $(2x^2y)^3 = 8x^6y^3$.
Denominador: $(4xy^2)^2 = 16x^2y^4$.
Dividimos coeficientes: $\dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}$.
Dividimos $x$: $\dfrac{x^6}{x^2} = x^{6-2} = x^4$.
Dividimos $y$: $\dfrac{y^3}{y^4} = y^{3-4} = y^{-1} = \dfrac{1}{y}$.
Resultado: $\dfrac{x^4}{2y}$.

Ejercicios para resolver

Intenta resolver cada ejercicio por tu cuenta. Luego pulsa el botón para ver la solución paso a paso.

Ejercicio 1

Desarrollar $(3x - 2)^2$.

Solución:

$a = 3x$, $b = 2$.
$(3x)^2 - 2(3x)(2) + 2^2$.
$= 9x^2 - 12x + 4$.

Ejercicio 2

Desarrollar $(2x^3 + 1)^3$.

Solución:

$a = 2x^3$, $b = 1$.
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
$a^3 = (2x^3)^3 = 8x^9$.
$3a^2b = 3(2x^3)^2(1) = 12x^6$.
$3ab^2 = 3(2x^3)(1)^2 = 6x^3$.
$b^3 = 1$.
Resultado: $8x^9 + 12x^6 + 6x^3 + 1$.

Ejercicio 3

Simplificar $\dfrac{(5x^2y^3)^2}{25x^4y^6}$.

Solución:

Numerador: $(5x^2y^3)^2 = 25x^4y^6$.
La expresión queda $\dfrac{25x^4y^6}{25x^4y^6}$.
Simplificando: $1$.

Ejercicio 4

Desarrollar $(x^2 - 2x + 1)^2$.

Solución:

Reescribimos como $(x^2 + (-2x) + 1)^2$.
Aplicamos $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.
$= (x^2)^2 + (-2x)^2 + 1^2 + 2(x^2)(-2x) + 2(x^2)(1) + 2(-2x)(1)$.
$= x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^3 + 2x^2 - 4x$.
Ordenando: $x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$.

Ejercicio 5

Calcular $(x + 2)(x - 2)$ usando propiedades de potenciación.

Solución:

Reconocemos la diferencia de cuadrados: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
$= x^2 - 2^2$.
$= x^2 - 4$.

Video explicativo

Refuerza los conceptos con este video de Matemáticas profe Alex, que explica qué es la potenciación y cómo se aplican sus propiedades fundamentales.

Cierre

Las propiedades de la potenciación son la caja de herramientas para operar con polinomios. Desde elevar un monomio hasta desarrollar un trinomio al cuadrado, cada propiedad tiene un rol específico. La clave está en identificar la estructura de la expresión y aplicar la regla correcta, paso a paso.

Practica con los ejercicios propuestos y vuelve al video siempre que necesites repasar. Con constancia, las potencias dejarán de ser un obstáculo y se convertirán en un aliado para resolver álgebra con confianza.

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